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'''布倫特-維賽拉頻率'''（Brunt–Väisälä frequency）是指穩定的[[大氣層]]中[[浮力振盪]]的頻率。它代表著一團氣塊對於因[[對流]]活動而導致的垂直方向運動的[[穩定性]]。它由[[威爾斯]][[氣象學家]][[大衛‧布倫特]]和[[芬蘭]]氣象學家[[維爾霍‧維賽拉]]發現，因而得名。

==證明==
根據[[流體靜力平衡]]，

<math>\frac{\partial p(z)}{\partial z}=-\rho(z)g</math>

其中 <math>\rho</math> 是流體[[密度]]。這條公式描述的是在高度 <math>z</math> 上，單位[[體積]]氣塊所受的[[壓力]] <math>-\frac{\partial p}{\partial z}\hat{z}</math> 與其自身[[重力]] <math>-\rho g\hat{z}</math> 平衡。整個大氣層大致上均符合流體靜力平衡。

因此，在 <math>z+\delta z</math> 的高度上，環境亦滿足流體靜力平衡：

<math>\frac{\partial p(z+\delta z)}{\partial z}=-\rho(z+\delta z)g</math>

現在考慮一團氣塊從高度 <math>z</math> 被移動至高度 <math>z+\delta z</math>。隨著高度的變化，環境氣壓也會有所變化，使氣塊進行[[絕熱過程]]。這個過程會持續到氣塊的[[壓強]]和同一水平的氣壓持平為止，以確保氣塊不會再因為與環境產生水平方向的[[壓強梯度力|壓強梯度]]而水平[[散度|發散]]或者集中。但是，絕熱過程也不會確保氣塊不受垂直方向的壓力影響。事實上，當氣塊移動至新的高度後，其壓力和重力並不平衡，因此它會在垂直方向加速。

在絕熱過程中，氣塊的[[狀態方程]]是：

<math>p_a(z)^{1-\gamma}T_a(z)^\gamma=p_a(z+\delta z)^{1-\gamma}T_a(z+\delta z)^\gamma</math>

其中 <math>T</math> 代表[[溫度]]，<math>\gamma=\frac{c_P}{c_V}</math> 是[[絕熱指數]]。下標 <math>_a</math> 用以區分氣塊的參數和環境參數。

此式經整理可得：

<math>\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}=\left[\frac{T_a(z)}{T_a(z+\delta z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}</math>

代入以[[氣象學]]單位表示的[[理想氣體狀態方程]] <math>p=\rho RT</math> 並整理可得：

<math>\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}=\left[\frac{p_a(z)}{p_a(z+\delta z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}\left[\frac{\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}</math>

<math>\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{1-\gamma}=\left[\frac{\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z)}\right]^\frac{\gamma}{1-\gamma}</math>

<math>\rho_a(z+\delta z)=\rho_a(z)\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}</math>

現在考慮[[位溫]]的定義：

<math>\theta=T\left(\frac{p_s}{p}\right)^{1-\frac{1}{\gamma}}</math>

其中 <math>p_s</math> 是[[海平面氣壓]]。再次代入理想氣體狀態方程並整理可得：

<math>\theta=\frac{p}{\rho R}\left(\frac{p_s}{p}\right)^\frac{\gamma-1}{\gamma}</math>

<math>\theta=p^\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{p_s}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma}\left(\frac{1}{\rho R}\right)</math>

在高度 <math>z</math>，環境位溫的表示式為：

<math>\theta(z)=p(z)^\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{p_s}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma}\left[\frac{1}{\rho(z)R}\right]</math>

在高度 <math>z+\delta z</math>，環境位溫的表示式為：

<math>\theta(z+\delta z)=p(z+\delta z)^\frac{1}{\gamma}\left(\frac{1}{p_s}\right)^\frac{1-\gamma}{\gamma}\left[\frac{1}{\rho(z+\delta z)R}\right]</math>

需留意這裡的 <math>\rho</math> 是指環境密度，而非氣塊密度 <math>\rho_a</math>。

二式相除並整理可得：

<math>\frac{\theta(z+\delta z)}{\theta(z)}=\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}\left[\frac{\rho(z)}{\rho(z+\delta z}\right]</math>

<math>\rho(z+\delta z)=\rho(z)\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}\right]\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}</math>

回到氣塊，在新的高度 <math>z+\delta z</math>，它所受到的壓力是 <math>-\frac{\partial p(z+\delta z)}{\partial z}\hat{z}=\rho(z+\delta z)g\hat{z}</math>，而它所受到的重力是 <math>-\rho_a(z+\delta z)g\hat{z}</math>。因為，作用在氣塊的[[淨力]]為：

<math>\rho(z+\delta z)g\hat{z}-\rho_ag(z+\delta z)\hat{z}</math>

<math>=\left[\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)\right]g\hat{z}</math>

根據[[牛頓第二定律]]，單位體積氣塊的[[加速度]]是：

<math>\vec{a}=\frac{\vec{F}}{m}=\frac{1}{\rho_a}\left(\frac{\vec{F}}{V}\right)</math>

由於單位氣塊在高度 <math>z+\delta z</math> 所受的淨力為 <math>\frac{\vec{F}}{V}=\left[\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)\right]g\hat{z}</math>，它的[[運動方程]]是：

<math>\vec{a}=\frac{1}{\rho_a(z+\delta z)}\left[\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)\right]g\hat{z}</math>

又由於氣塊只有向垂直方向加速，即 <math>\vec{a}=a\hat{z}</math>，把運動方程去掉[[單位向量]] <math>\hat{z}</math> 後可得[[標量]]表示式：

<math>a=\frac{\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z+\delta z)}g</math>

根據加速度的定義，考慮到 <math>z</math> 可被視作[[常數]]，

<math>a=\frac{d^2(z+\delta z)}{dt^2}=\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}</math>

把上面得到的結果代入運動方程的右手邊的分數，可得：

<math>\frac{\rho(z+\delta z)-\rho_a(z+\delta z)}{\rho_a(z+\delta z)}</math>

<math>=\frac{\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}\right]\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}-\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}{\left[\frac{p_a(z+\delta z)}{p_a(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}</math>

由於氣塊的壓強和同一水平的氣壓持平，

<math>p_a(z)=p(z)</math> 及 <math>p_a(z+\delta z)=p(z+\delta z)</math>

故上式等同：

<math>\frac{\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}\right]\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}-\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}{\left[\frac{p(z+\delta z)}{p(z)}\right]^\frac{1}{\gamma}}</math>

<math>=\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}-1</math>

<math>=\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\theta(z+\delta z)}</math>

因此，氣塊準確的運動方程是：

<math>\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}=g\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\theta(z+\delta z)}=g\left[\frac{\theta(z)}{\theta(z+\delta z)}-1\right]</math>

這是一條[[非線性]]二階[[常微分方程]]，故不能以現有方法求得其精確[[解方程|解]]。因此，我們需要把它[[線性化]]以求得大致準確的解。

方程右側的分數可以寫作：

<math>\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\theta(z+\delta z)}</math>

<math>=\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\delta z}\cdot\frac{\delta z}{\theta(z+\delta z)}</math>

<math>=\frac{1}{\theta(z+\delta z)}\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\delta z}\delta z</math>

由於氣塊振盪的幅度相對其高度可以忽略不計，我們可以取極限 <math>\delta z\rightarrow0</math>，使 <math>\lim_{\delta z\rightarrow0}\theta(z+\delta z)=\theta(z)</math> 及 <math>\lim_{\delta z\rightarrow0}\frac{\theta(z)-\theta(z+\delta z)}{\delta z}=-\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}</math>。故上式成為：

<math>-\frac{1}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}\delta z</math>

氣塊的運動方程可以重新寫成：

<math>\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}=-\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}\delta z</math>

<math>\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}+\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}\delta z=0</math>

由於 <math>z</math> 和 <math>\delta z</math> 是兩個獨立的量，上式中的 <math>\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}</math> 對於[[變量]] <math>\delta z</math> 而言是常數，因此我們已經把氣塊的運動方程線性化為一條常[[係數]]二階常微分方程，其形式與[[簡諧振動]]的運動方程 <math>\frac{d^2x}{dt^2}+\omega^2x=0</math>一樣。利用[[特徵方程]]法求解可得：

<math>\delta z=C_1e^{iNt}+C_2e^{-iNt}=A\cos(Nt)+B\sin(Nt)</math>

其中要求 <math>\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}>0</math>。由公式可見氣塊的確正在進行簡諧振動。<math>C_1,\,C_2,\,A,\,B</math> 皆為常數，<math>N=\sqrt{\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}}</math> 就是氣塊垂直振盪的頻率，即布倫特-維賽拉頻率。

注意當 <math>\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}=0</math> 時，布倫特-維賽拉頻率為 <math>0</math>，運動方程變成 <math>\frac{d^2(\delta z)}{dt^2}=0</math>，其解為 <math>\delta z=\delta z_0+wt</math>，其中 <math>\delta z_0</math> 是氣塊的原[[位移]]而 <math>w</math> 是氣塊的垂直速度。這意味著氣塊會穩定上升或下降。

若 <math>\frac{g}{\theta(z)}\frac{\partial\theta(z)}{\partial z}<0</math>，布倫特-維賽拉頻率為一[[虛數]]，則方程的解變為 <math>\delta z=C_1e^{\sqrt{\left|\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}\right|}t}+C_2e^{-\sqrt{\left|\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}\right|}t}</math>。忽略較小的 <math>C_2e^{-\sqrt{\left|\frac{g}{\theta}\frac{\partial\theta}{\partial z}\right|}t}</math> 項，可見氣塊的位移將隨時間以[[指數]]增加，意味大氣層中會持續出現對流活動。