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* 令<math>n=\frac{\lg\sin\beta}{\lg\cos\beta}</math>,<math>p=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>,則當<math>\beta=1,2,4,7,10,15,16,17,...</math>
得<math>p^n=\left(\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\right)^n=\left(e^{i\frac{2\pi}{n}}\right)^n \ne 1</math>
* 令<math>n=\frac{\lg\sin\beta}{\lg\cos\beta}</math>,<math>p=\cos\frac{2k\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>,則當<math>\beta=3,5,6,9,11,12...</math>
得<math>p^n=\left(\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}\right)^n=\left(e^{i\frac{2\pi}{n}}\right)^n =1</math>

== 思考 ==
由此看到當n不是整數的時候，歐拉公式之指數運算時對時錯，難道是微積分錯了？當然不可能，那是怎麽回事呢，希望引起讀者對這些定理深刻地思考

=== 回应 ===
上面的推断是错误的。

首先，让我们重新表达给定的参数：

令<math>n=\frac{\lg\sin\beta}{\lg\cos\beta}</math>，<math>p=\cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}</math>。

现在，让我们来计算<math>p^n</math>：

<math>p^n = \left(\cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}\right)^n = \left(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)^n</math>

在这里，我们使用了欧拉公式：<math>e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)</math>。

现在，我们注意到<math>n</math>是一个复数，因为<math>\beta</math>是一个不是整数的实数。所以我们可以将<math>n</math>表示为：

<math>n = \frac{\log(\sin\beta)}{\log(\cos\beta)} = \frac{\log(\sin\beta)}{\log(\cos\beta)} = \frac{\log(\sin\beta)}{\log(\cos\beta)}</math>

接下来，我们应用幂运算的性质：

<math>p^n = \left(e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)^n = e^{i \cdot 2k\pi} = e^{i\left(2k\pi \cdot \frac{\log(\sin\beta)}{\log(\cos\beta)}\right)}</math>

但是这里有一个错误：在计算中，我们假设<math>n</math>是整数，然后将<math>\frac{2k\pi}{n}</math>与<math>\frac{\log(\sin\beta)}{\log(\cos\beta)}</math>相乘，这是不正确的。由于<math>n</math>是复数，我们不能简单地按照实数幂的规则进行处理。

所以结论是：当<math>n</math>不是整数时，我们不能简单地将欧拉公式的指数运算应用于<math>p^n</math>。正确的处理需要使用复数幂的定义，这超出了欧拉公式的简单形式。

——[[User:BlackShadowG|BlackShadowG]]（[[User talk:BlackShadowG|留言]]） 2023年7月27日 (四) 15:20 (UTC)

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