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在引论中，我们使用了欧氏几何的定理来阐述拓扑学的大体概念，然而拓扑学不仅仅研究存在于欧氏几何中的形体，因此在这一讲中，我们将会介绍拓扑空间的一些知识。

===概述===
假设有一个非空集合X，它的幂集是2<sup>x</sup>，即为X所有子集的集合。这个幂集的子集则称之为X的子集族。

若我们称X的一个子集族τ为X的一个拓扑，并规定它满足以下几个条件：X本身和空集<math>\varnothing</math>都被τ所包含；τ的任意成员的并集被τ所包含；τ中有限多的成员的交集被τ所包含。这样的情况下，我们就可以把X和其拓扑τ称拓扑空间，写作(X,τ)，τ便为此空间的开集。在此条件下我们可以看出，给出X的拓扑即为规定X的子集中的开集。

由于一个集合可以规定多个拓扑，称呼一个拓扑空间不但需要指出集合，并且要指出是此集合的哪一个拓扑。上述的例子中，2<sup>x</sup>构成了X的拓扑，我们可以称之为X的离散拓扑；同时X规定了{X,<math>\varnothing</math>}也是其拓扑，可以称之为X的平凡拓扑。

接下去再看看一些常见的拓扑：
#设有无穷集合X以及其有限子集A，τ<sub>ƒ</sub>={A<sup>c</sup>}<math>\cup</math>{<math>\varnothing</math>}，这个条件下τ<sub>ƒ</sub>就是X的余有限拓扑。
#设有不可数无穷集合X以及其可数子集A，τ<sub>c</sub>={A<sup>c</sup>}<math>\cup</math>{<math>\varnothing</math>}，这个条件下τ<sub>c</sub>就是X的余可数拓扑。
#如果我们有实数的集合R以及数个开区间的并集U，并规定τ<sub>e</sub>={U}，那么当<math>\varnothing</math>∈τ<sub>e</sub>，τ<sub>e</sub>就是R上的一个拓扑，我们可以称之为R的欧式拓扑，其拓扑空间为E<sup>1</sup>=(R,τ<sub>e</sub>)。

===度量拓扑===
在拓扑空间中，当我们为集合X定义了一个度量，那么就可以称之为度量空间。设我们规定了一个度量d，此度量空间即为(X,d)。度量d是X的一个映射，我们这里先写作d:X·X→R，它需要满足下列条件：
*d(x,y)=0, ∀x∈X；当x≠y，d(x,y)>0
*d(x,y)=d(y,x)，∀x,y∈X
*d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)，∀x,y∈X

设R<sup>n</sup>={(x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,···,x<sub>n</sub>)|x<sub></sub>∈R,i=1,2,···,n}，那么我们规定其度量d为：d((x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,···,x<sub>n</sub>),(y<sub>1</sub>,y<sub>2</sub>,···,y<sub>n</sub>)) = <math>\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i,y_i)^2}</math>
我们可以看出这一度量满足上述条件，是R<sup>n</sup>的映射。如此以来就可以将这个度量空间记作：E<sup>n</sup>=(R<sup>n</sup>,d)，即n维欧氏空间。

====拓扑公理====
在上面我们曾说过τ为X的拓扑需要满足的条件，这几个条件我们称之为拓扑公理：
#）X和空集<math>\varnothing</math>都被τ所包含。
#）τ中任意多个成员的并集也被τ所包含。
#）τ中有限多个成员的交集也被τ所包含。

接下来我们利用度量拓扑简单体现一下三种公理的应用。设有度量空间(X,d)，为规定X的拓扑，设有x<sub>0</sub>∈X，并有正数ε。那么X的子集就可以写作：
<center>B(x<sub>0</sub>,ε) := {x∈X|d(x<sub>0</sub>,x)<ε}</center>[[File:Wikiversity zh Topology img01.png|right|360px]]
利用图形来表示，则可以说此为x<sub>0</sub>为圆心、ε为半径的球形领域。

===闭集===
在之前说欧式空间、度量空间是都曾提到过闭集的概念，我们现在假设有拓扑空间<math>X</math>中有子集<math>A</math>为闭集，那么<math>A^c</math>就是开集。在这个语境中，我们可以看到闭集就是一个开集的余集，反之亦然。而分析其他的情况，例如我们可以看到离散拓扑空间中任何子集都是开集，因而任何子集也是闭集。在看如果我们有平凡拓扑空间X，那么其中就有两个闭集<math>X=\varnothing^c</math>和<math>\varnothing=X^c</math>。如此一来，在<math>(R,\tau_f)</math>中，闭集可以是有限集或者就是X；在<math>(R,\tau_c)</math>中，闭集则可以是可数集或是X。

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