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=单项式和多项式=
单项式和多项式合称为'''整式'''。
===单项式===
'''单项式'''是任意个字母和数字的乘积。

一个字母或一个数字也叫单项式。一个数字的项被称为'''常数项'''。

例如：<math>2a</math>，<math>b^3</math>，<math>-1</math>，<math>xy</math>，<math>4ab^2</math>，这些都是单项式。

一个单项式的各个字母因数的次幂（又称指数）之和是这个单项式的'''次数'''。例如：<math>4a^3b^2c</math>的次数是3+2+1。'''常数项的次数是0.'''

一个单项式的数字因数是这个单项式的'''系数'''。例如：<math>2x</math>的系数是<math>2</math>。<math>-a</math>的系数是<math>-1</math>。通常<math>\pm 1  </math>为系数时略写。

===多项式===
任意个单项式的和叫做'''多项式'''。例如：<math>a^2+2ab+b^2</math>。其中，<math>a^2,2ab,b^2</math>叫做这个多项式的'''项'''。这个多项式有几个项，就是这个数的'''项数'''

如果将多项式的各个项按照次数的大小列写，由大到小称为'''降幂'''，由小到大称为'''升幂'''。常数项例如：多项式<math>x^3y+x^2y-4xy^2+3xy-x-2y+1</math>是按照降幂排序的。将它升幂排序的结果则是：<math>1-2y-x+3xy-4xy+x^2y+x^3y</math>。

通常，用降幂排序来列写多项式。如果多项式的项的最高次幂为m，共有n项,则称为m次n项式。


== 练习一 ==
# 指出下面单项式的系数和指数。
#* <math>2abcde</math>
#* <math>1</math>
#* <math>4x</math>
#* <math>8x^2y</math>
# 根据本多项式，回答问题。
#* <math>x^2+5y^3z+2</math>
#* <math>3-12x+y</math>
#* <math>a^5+b^2c^3-1</math>
#*# 该多项式是几次几项式？
#*# 指出本式中的常数项，最高次项。
#*# 请按每项中y的次数升幂排列本多项式。
#*# 请按每项的次数降幂排列本多项式。

= 整式的加减 =
整式的加减主要涉及到'''合并同类项'''和'''去括号'''。
===合并同类项===

例如：

<math>5x+36+36x-5</math>

<math>(5+36)x+36-5</math>

5＋36＝41,  36－５＝31

<math>=41x+31</math>

===去括号===

化簡以下式子：
<math>6(6x+5xy+y+6)+6xy-3y-11(x+xy+1)=5xy+11</math>
先去括號，再合併同類項：
<math>36x+(30+6)xy+(6-3)y+36-11(x+xy+1)=5xy+11</math>
30＋6＝36, 6－3＝3
<math>36x+36xy+3y+36-11x-11xy-11=5xy+11</math>
<math>(36-11)x+(36-11-5)xy+3y+(36-11-11)=0</math>
36－11＝25, 36－11－5＝20,
36－11－11＝14

故得解：<math>25x+20xy+3y+14=0</math>

=整式的乘除=

=== 整式乘法 ===
例如以下的两个多项式：
:<math>\begin{align}
   P &= {9X - Y - 1} \\
   Q &= {11X + 4Y + 11XY + 4}
\end{align}</math>

计算它们的乘积，步骤如下：
:<math>
PQ = (9X \cdot 11X)
+ (9X \cdot 4Y) + (9X \cdot 11XY) +(9X \cdot 4) </math>

:<math>  + (-Y \cdot 11X) + (-Y \cdot 4Y) + (-Y \cdot 11XY) + 
(-Y \cdot 4) </math>

:<math>  + (-1 \cdot 11X) + (-1 \cdot 4Y) + 
(-1 \cdot 11XY) + (-1 \cdot 4)
</math> 


:<math> PQ = 99X^2 - 4Y^2 + 99X^2Y -11XY^2</math> 

:<math> + (36-11)X + (-4-4)Y 

</math> 

:<math> + (36-11-11)XY - 4

</math>

36－11＝25，－4－4＝－8，

36－11－11＝14

:<math>PQ = 99X^2 - 4Y^2 + 99X^2Y -11XY^2 + 25X - 8Y + 14XY - 4</math>

=== 整式除法 ===


例如，计算<math> X^3 + 36X^2 +280X + 36</math>除以<math>X+11</math>，列式如下：
:<math>
\begin{matrix}
\qquad\quad\;\, X^2 \; + 25X \quad + 5\\
\qquad\quad X+11\overline{) X^3 + 36X^2 + 280X + 36}\\
\;\; \underline{\;X^3 +11X^2}\\
\qquad\qquad\qquad\quad\; 25X^2 + 280X\\
\qquad\qquad\qquad\quad\; \underline{25X^2 + 275X}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad 5X + 36\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{5X + 55}\\
\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\;\;\;\;\; -19
\end{matrix}
</math>

因此，商式是<math>\ X^2 + 25X + 5 </math>，餘式是<math>\ -19 </math>。

利用綜合除法计算<math> X^3 + 36X^2 +280X + 36</math>除以<math>X+11</math>

:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ -11 \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr} 
        1 & 36 & 280 & 36 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
    \end{array}
\end{array}</math>

把被除式最高次項的系數寫下來
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ -11 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & 36 & 280 & 36 \\
          &     &   &     \\
        \hline 
        1 &     &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

乘上左邊的常數再放上第二行
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{r} \\ -11 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 &  36 & 280 & 36 \\
          & {\color{Orange}-11} &   &     \\
        \hline 
        1 & 36{\color{Orange}-11}    &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

與上面的系數相加，<math>36{\color{Orange}-11}=25</math>，將25
寫到下面
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ -11 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & 36 & 280 & 36 \\
          & {\color{Orange}-11}   &   &     \\
        \hline 
        1 & 25  &   &     \\
    \end{array}
\end{array}</math>

重複乘法加法運算，直到除法結束
:<math>\begin{array}{cc}
    \begin{array}{c} \\ -11 \\ \\ \end{array}
    &
    \begin{array}{|rrrr}  
        1 & 36 &   280 & 36 \\
          & {\color{Orange}-11}   & {\color{Red}-275} & {\color{Violet}-55} \\
        \hline 
        1 & 25 & 5 & -19 
    \end{array}
\end{array}</math>

結果得出商式為<math>x^2 + 25x + 5</math>，餘式為<math>36{\color{Violet}-55}=-19</math>

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