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[[File:Abacus 6.png|right|thumb|300px|早期的數學完全著重在演算實際運算的需要上，有如反映在中國[[算盤]]上的一般。]]
'''數學主要的學科最先產生於商業上計算的需要、了解數字間的關係、測量土地及預測[[天文学|天文]]事件。'''
這四種需要大致地與數量、結構、空間及變化（即[[算术|算術]]、[[代数|代數]]、[[几何学|幾何]]及[[数学分析|分析]]）等數學上廣泛的子領域相關連著。

除了上述主要的關注之外，亦有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域：至[[数理逻辑|邏輯]]、至[[集合論]]（[[數學基礎|基礎]]）、至不同科學的經驗上的數學（[[應用數學]]）、及較近代的至[[不确定性原理|不確定性]]的嚴格研究。

== 基礎與哲學 ==
為了闡明[[數學基礎]]，[[数理逻辑|數學邏輯]]和[[集合论|集合論]]等領域被發展了出來。

數學邏輯專注於將數學置在一堅固的[[公理]]架構上，並研究此一架構的結果。就其本身而言，其為[[哥德爾不完備定理|哥德爾第二不完備定理]]所屬的領域，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果－總存在一不能被證明而又為真的定理。現代邏輯被分成[[遞歸論]]、[[模型論]]和[[證明論]]，且和[[理論電腦科學]]有著密切的關連性，[[千禧年大獎難題]]中的[[P/NP問題]]就是理論電腦科學中的著名問題<ref>[http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ Clay Mathematics Institute], P=NP, claymath.org</ref>。
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
|  <math> P \Rightarrow Q \,</math>|| [[File:Venn A intersect B.svg|128px]]  || [[File:MorphismComposition-01.png|96px]]  
|-
| [[數學邏輯]] || [[集合論]] || [[範疇論]] 
|}

== 纯粹数学 ==
=== 數量 ===
數量的研究起於[[数|數]]，一開始為熟悉的[[自然数|自然數]]及[[整数|整數]]與被描述在[[算术|算術]]內的自然數及整數的算術運算。整數更深的性質於[[数论|數論]]中有詳細的研究，此一理論包括了如[[费马大定理|費馬最後定理]]等著名的結果。數論還包括兩個被廣為探討的未解問題：[[孿生質數猜想]]及[[哥德巴赫猜想]]<ref>{{Cite web 
 |url=http://www.newasiabooks.com/subject/maths/learn_maths/learn_maths_3a_090203.htm
 |title=哥德巴赫猜想
 |publisher=新亞洲出版社
 |language= zh-tw
 |work=輕輕鬆鬆學數學
 |accessdate=2013-10-05}}</ref>。

當數系更進一步發展時，整數被視為[[有理数|有理數]]的[[子集]]，而有理數則包含於[[实数|實數]]中，連續的量即是以實數來表示的。實數則可以被進一步廣義化成[[复数 (数学)|複數]]。數的進一步廣義化可以持續至包含[[四元數]]及[[八元數]]。從自然數亦可以推廣到[[超限數]]，它形式化了計數至無限的這一概念。另一個研究的領域為大小，這個導致了[[基数 (数学)|基數]]和之後對無限的另外一種概念：[[阿列夫数]]，它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| <math>1, 2, 3\,\!</math> || <math>-2, -1, 0, 1, 2\,\!</math> || <math> -2, \frac{2}{3}, 1.21\,\!</math> || <math>-e, \sqrt{2}, 3, \pi\,\!</math> || <math>2, i, -2+3i, 2e^{i\frac{4\pi}{3}}\,\!</math> 
|-
| [[自然数|自然數]]|| [[整数|整數]] || [[有理数|有理數]] || [[实数|實數]] || [[复数 (数学)|複數]] 
|}

=== 結構 ===
許多如數及[[函数|函數]]的集合等數學物件都有著內含的結構。這些物件的結構性質被探討於[[群]]、[[环 (代数)|環]]、[[域 (數學)|-{zh-cn:域;zh-tw:體}-]]等抽象系統中，該些物件事實上也就是這樣的系統。此為[[代數]]的領域。在此有一個很重要的概念，即廣義化至[[向量空间|向量空間]]的[[矢量|向量]]，它於[[线性代数|線性代數]]中被研究。向量的研究結合了數學的三個基本領域：數量、結構及空間。[[向量分析]]則將其擴展至第四個基本的領域內，即變化。

创立于二十世纪三十年代的[[法国]]的[[布尔巴基学派]]认为：纯粹数学，是研究[[抽象结构]]的理论。
结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统。

[[布尔巴基学派]]认为，有三种基本的抽象结构：[[代数结构]]（[[群]]，[[环 (代数)|环]]，[[域 (數學)|域]]……），[[序理论|序结构]]（[[偏序关系|偏序]]，[[全序关系|全序]]……），[[拓扑结构]]（[[邻域]]，[[极限 (数学)|极限]]，[[连通性]]，[[維度|维数]]……）<ref>[http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d171/17111.pdf 數學中的公理化方法（上） 吳開朗]</ref>。

:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| [[File:Elliptic curve simple.png|96px]] || [[File:Rubik's cube.svg|96px]] || [[File:Group diagdram D6.svg|96px]] || [[File:Lattice of the divisibility of 60.svg|96px]]
|-
| [[数论|數論]] ||  [[群论|群論]] || [[图论|圖論]] || [[序理論]]
|}

=== 空間 ===
空間的研究源自於[[几何学|幾何]]－尤其是[[欧几里得几何]]。[[三角学|三角學]]則結合了空間及數，且包含有著名的[[勾股定理]]。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、[[非歐幾里得幾何]]（其在[[廣義相對論]]中扮演著核心的角色）及[[拓扑学|拓撲學]]。

數和空間在[[解析几何|解析幾何]]、[[微分幾何]]和[[代数几何|代數幾何]]中都有著很重要的角色。在微分幾何中有著[[纖維叢]]及[[流形]]上的微積分等概念。在代數幾何中有著如[[多項式]]方程的解集等幾何物件的描述，結合了數和空間的概念；亦有著[[拓撲群]]的研究，結合了結構與空間。

[[李群]]被用來研究空間、結構及變化。在其許多分支中，拓撲學可能是二十世紀數學中有著最大進展的領域，並包含有存在已久的[[庞加莱猜想|龐加萊猜想]]，以及有爭議的[[四色定理]]。龐加萊猜想已在2006年确认由俄罗斯数学家[[格里戈里·佩雷尔曼]]證明<ref name="PhysOrg1">{{cite web |url=http://www.physorg.com/news197209671.html |title=Russian mathematician rejects $1 million prize |publisher=Associated Press on PhysOrg |author=Malcolm Ritter |date=2010-07-01 |accessdate=2011-05-15}}</ref>，而四色定理已在1976年由[[凱尼斯·阿佩爾]]和[[沃夫岡·哈肯]]用電腦證明<ref>{{cite journal|author=K. Appel, W. Haken|title=Research Announcement : Every planar map is four colorable|journal=Bull. Amer. Math. Soc|year=1976|month=9|volume=82|issue=5|pages=711-712|url=http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.bams/1183538218|accessdate=2013-03-04}}</ref>，而從來沒有由人力來驗證過。

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| [[File:Illustration to Euclid's proof of the Pythagorean theorem.svg|96px]] || [[File:Sine cosine plot.svg|96px]] || [[File:Hyperbolic triangle.svg|96px]] || [[File:Torus.png|96px]] || [[File:Von koch 6 etapes.svg|96px]] || [[File:Measure illustration.png|96px]]
|-
|[[几何学|幾何]] || [[三角学|三角學]] || [[微分幾何]] || [[拓扑学|拓撲學]] || [[分形|-{zh-cn:分形;zh-tw:碎形}-]] || [[測度論]]
|}

=== 變化 ===
了解及描述變化在[[自然科学|自然科學]]裡是一普遍的議題，而[[微积分学|微積分]]更為研究變化的有利工具。[[函数|函數]]诞生於此，做為描述一變化的量的核心概念。對於實數及實變函數的嚴格研究為[[实分析|實分析]]，而[[複分析]]則為複數的等價領域。

[[黎曼猜想]]－數學最基本的未決問題之一－便是以複分析來描述的<ref>[http://goodprimes.eu5.org/FRiemann3.htm 黎曼猜想]</ref>。[[泛函分析]]注重在函數的（一般為無限維）[[空间 (数学)|空間]]上。泛函分析的眾多應用之一為[[量子力学|量子力學]]。

許多的問題很自然地會導出一個量與其變化率之間的關係，而這在[[微分方程]]中被研究。在自然界中的許多現象可以被[[動力系統]]所描述；[[混沌理論]]則是對系統的既不可預測而又是決定的行為作明確的描述。
{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="20"
| [[File:Integral_as_region_under_curve.svg|96px]]  || [[File:Vectorfield_jaredwf.png|96px]] ||  [[File:Airflow-Obstructed-Duct.png|96px]] || [[File:Limitcycle.jpg|96px]] || [[File:Lorenz attractor.svg|96px]] || [[File:Princ Argument C1.svg|96px]]
|-
| [[微积分学|微積分]] || [[向量分析]]|| [[微分方程]] || [[動力系統]] || [[混沌理論]]|| [[複分析]]
|}

== 離散數學 ==
[[離散數學]]是指對[[理論電腦科學]]最有用處的數學領域之總稱，這包含有[[可计算性理论|可計算理論]]、[[計算複雜性理論]]及[[資訊理論]]。可計算理論檢驗電腦的不同理論模型之極限，這包含現知最有力的模型－[[图灵机|圖靈機]]<ref>[http://www.swarmagents.cn/vm/articles/turing.pdf 图灵机与计算问题]</ref>。

複雜性理論研究可以由電腦做為較易處理的程度；有些問題即使理論是可以以電腦解出來，但卻因為會花費太多的時間或空間而使得其解答仍然不為實際上可行的，儘管電腦硬體的快速進步。最後，資訊理論專注在可以儲存在特定媒介內的資料總量，且因此有[[数据压缩|壓縮]]及[[熵 (信息论)|熵]]等概念。

做為一相對較新的領域，離散數學有許多基本的未解問題。其中最有名的為[[P/NP問題]]－[[千禧年大獎難題]]之一。<ref>[http://www.claymath.org/millennium/P_vs_NP/ 克雷數學研究所]P=NP</ref>一般相信此問題的解答是否定的。
<ref>[http://www.math.ohio-state.edu/~friedman/pdf/P=NP10290512pt.pdf#search=%22P%3DNP%22 P=NP的民調]顯示2005年大眾相信它並不相等。(看section 5)</ref>
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
| <math>\begin{matrix} (1,2,3) & (1,3,2) \\ (2,1,3) & (2,3,1) \\ (3,1,2) & (3,2,1) \end{matrix}</math> || [[File:DFAexample.svg|96px]] || [[File:Caesar3.svg|96px]] || [[File:6n-graf.svg|96px]]
|-
| [[組合數學]] || [[计算理论|計算理論]] || [[密码学|密碼學]] || [[图论|圖論]]
|}

== 應用數學 ==
應用數學思考將抽象的數學工具運用在解答[[科学|科學]]、[[工商业|工商業]]及其他領域上之現實問題。應用數學中的一重要領域為[[统计学|統計學]]，它利用[[概率论|機率論]]為其工具並允許對含有機會成分的現象進行描述、分析與預測。大部份的實驗、調查及觀察研究需要統計對其資料的分析。然而許多的統計學家並不認為他們是數學家，而比較覺得是合作團體的一份子。

[[數值分析]]研究有什麼計算方法，可以有效地解決那些人力所限而算不出的數學問題；它亦包含了對計算中[[捨入誤差]]或其他來源的誤差之研究<ref>[http://libai.math.ncu.edu.tw/bcc16/B/matlab/a2.shtml Matlab教材：數值計算無可避免的誤差]</ref>。

== 註解 ==
{{reflist}}

== 延伸閱讀 ==
*[[數學之美]]
*[[數學形成、純數學與應用數學及美學]]
*[[數學符號、語言與精确性]]
*[[數學作為科學的定義與認知]]
*→[[數學的各領域應用]]

[[Category:数学]]