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== 集合 ==
; 基本概念
: 把一些确定的对象看成一个整体就形成了一个集合，集合常用大写字母表示；集合里的各个对象叫做集合的元素，通常用小写字母表示。

; 集合元素的性质：
:# 确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。
:# 互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。
:# 无序性：{a,b,c}和{c,b,a}是同一个集合。
:# 纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示：集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，这就是集合纯粹性。
:# 完备性：仍用上面的例子，所有符合x<2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。

=== 相互关系 ===
; 元素与集合的关系：
: 元素与集合的关系有“属于”（∈）和“不属于”（∉）两种。

; 集合与集合之间的关系：
: 某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
:* 含有有限个元素叫'''有限集'''；
:* 含有无限个元素叫'''无限集'''；
:* 若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的'''子集'''，或 A '''包含于''' B ，记作 A ⊆ B ；
:* 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称 A 与 B '''相等'''，即它们是同一个集合，记作 A = B；
:* 若 A ⊆ B 且 A ≠ B ，则称 A 是 B 的'''真子集'''，或 A '''真包含于''' B ，记作 A ⊂ B ；
:* 不含任何元素的集叫'''空集'''，记做“Φ”，
:*: 空集是任何集合的子集，
:*: 空集是任何非空集的真子集；
:* 任何集合是它本身的子集；
:* 子集、真子集都具有'''传递性'''：对任意集合 A 、B 、C ，若 A ⊆ B 且 B ⊆ C ，则 A ⊆ C ；若 A ⊂ B 且 B ⊂ C ，则 A ⊂ C 。

=== 集合的表示 ===
; 集合的表示方法
: 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a,b,c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种 共同性质的数学元素。
: 有多种方法表示集合，其中常用的有列举法和描述法：
:# 列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}
:# 描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x为该集 合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性）如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0<x<π}
:# 图式法（Venn图）：为了形象表示集合，我们常常画一条封闭的曲线（或者说圆圈），用它的内部表示一个集合。
:# 自然语言

; 特殊集合的表示
:# 全体非负整数的集合通常简称非负整数集（或自然数集），记作<math>\mathbb{N}</math>
:# 非负整数集内排除0的集，也称正整数集，记作<math>\mathbb{N}_\mathbb{+}</math>或<math>\mathbb{N}^\mathbb{*}</math>
:# 全体整数的集合通常称作整数集，记作<math>\mathbb{Z}</math>
:# 全体有理数的集合通常简称有理数集，记作<math>\mathbb{Q}</math>
:#: <math>\mathbb{Q}</math>={<math>\tfrac{p}{q}</math>|p∈Z，q∈N,且p,q互质}
:# 全体实数的集合通常简称实数集，记作<math>\mathbb{R}</math>
:# 复数集合记作<math>\mathbb{C}</math>

=== 集合的运算 ===
:
:* '''并集'''：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}
:* '''交集'''：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}
:* '''差集'''：以属于A但不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集），记作A-B，即A-B={x|x∈A,且x∉B}
:* '''补集'''：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x∈U,且x不属于A}

:*: 在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a,b,c}，则card(A)=3
:*:* card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
:*:* card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C) 

==== 集合的运算定律 ====
:* 集合吸收律：
:*: A∪(A∩B)=A
:*: A∩(A∪B)=A
:* 集合求补律：
:*: A∪CuA=U
:*: A∩CuA=Φ
:* 设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集
:*: 德摩根律 A-(BUC)=（A-B)∩(A-C)
:*: A-(B∩C)=（A-B)∪(A-C)
:*: Cu（BUC)=CuB∩CuC
:*: Cu（B∩C)=CuB∪CuC
:*: ~Φ=E ~E=Φ

== 参见 ==
*[[:en:Set theory]]


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