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本章从确定性的非线性动力学方程组出发，先从最基础的单摆开始，简单介绍方程解的渐进行为。然后再看当控制参数发生变化时非线性系统的变化，即分岔理论的目的。我们这里先讲解静态分岔，突变理论与动态分岔在下一章节。

===单摆运动===
设有一个单摆，我们知道其运动方程为：<math> \ddot{\theta}+\frac{g}{L} \sin \theta =  0</math>（1.1）

那么，当<math>\theta</math>的绝对值远小于1时，我们可以将方程1.1线性化为<math> \ddot{\theta}+\frac{g}{L} \theta =  0</math> （1.2）

通过振动力学的方式求解，得：<math>\theta(t)= \theta_0 \sin(\omega_0t+\varphi_0)</math> （1.3）

设我们将初始的摆角扩大n倍，那么我们就有角<math>\theta'_0=n\theta_0</math>，并有方程：<math>\theta'(t)= n\theta_0 \sin(\omega t+\varphi_0)</math> （1.4）

上述解的基础都限于当<math>sin\theta\approx\theta</math> 时，即<math>\theta</math>趋于零时的情况，那么当其数值并不小的时候，我们如何去求解？

首先，我们已经知道单摆运动的角度不得超过5度，当大于5度时，我们首先可以确立两个条件：

#<math>mgsin\theta</math>提供了单摆的回复力。
#当回复力愈大时，加速度愈大，振动周期愈小，因而可见振动与回复力大小关系。

自然而然的，我们就可以试图去求其精确解，可得谐振动方程如下：

<math>\dot\theta = \omega</math><br><math>\dot\omega=-\omega_0^2 sin\theta</math> （1.5）

而单摆的振动周期就可以明确为：<math>T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}</math> （1.6）

我们将由位形变量和速度变量构成的空间称为状态空间，并可以用空间相图来展示系统的性态（有兴趣的可以自己试试，有利于理解相关概念）。

对方程1.5变形可得：<math>\frac{d\omega}{d\theta} = -\frac{\omega^2_0sin\theta}{\omega}</math> （1.7）

为了解出方程1.7，我们需要关注其中一个变量<math>sin\theta</math>。

使用积分求出含有第一类椭圆积分的单摆周期公式，由机械能守恒定律可得方程式如下：

<math>\frac{1}{2} mL^2\theta^2 + mgL(1-cos\theta) = mgL(1-cos\theta_0)</math> （1.8）

那么通过如上公式，我们就可以判断角移<math>\theta=\sqrt{\frac{2g}{L}(cos\theta-cos\theta_0)}</math>（1.9）

展开方程1.9，我们就会得到利用椭圆积分计算表示的单摆周期运动，将此展开后截取最早的两项，就可以得到新的运动方程：

<math>\frac{d^2\theta}{dt^2}+\omega^2_0(\theta-\frac{\theta^3}{6})=0</math> （1.10）

再对方程1.8简写，就可以看到一个新的方程如下：

<math>H=\frac{1}{2}\omega^2+\omega^2(1-cos\theta)</math>

<math>2H=\dot\theta^2+4\omega^2_0sin^2\frac{\theta}{2}</math> （1.11）

===线性微分方程===

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