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== 一 ==
代数方程<math>x^{n}+px=q</math>一定存在解

<math>x=\bigg({\frac{p(m-s)}{s}}\bigg)^{\frac{1}{n-1}}</math>

其中m,p,q,s满足方程

<math>m^{n}p^n=s^{n}q^{(n-1)}+m^{(n-1)}sp^n</math>

== 二 ==
定理：如果<math> a^n+b^n=1</math> 成立

則 <math>b^{n+1}={\bigg({a^{n}}{b^{\frac{n+1}{n}}}+b^{\frac{n^2+n+1}{n}}\bigg)}^{n}</math>成立

==三==
已知：<math>2 \nmid n,n\ge 1</math>

則李煌方程<math>x^{n+1}+{(k+A^{n-1})}x^n+{k^{n}{A^{n-1}}}=0</math>一定存在一個解<math>x=-k</math>

== 四 ==
恒等式

<math>(a^{n^2}b^{n+1})^{\frac{1}{n}}={({(a^n-b^n)}^{n}b^{n+1})}^{\frac{1}{n}}+{(b^{n^2+n+1})}^{\frac{1}{n}}</math>

== 六 ==
已知<math>A,B,C\in \mathbb{Z}</math>使得<math>A+B=C</math>

若橢圓曲線('''Frey Curve''')：<math>y^2=x\left(x-A\right)\left(x+B\right)</math>存在解(m,n)，则可以等價變換為兩條橢圓曲線

*則橢圓曲線('''LH Curve''')：<math>Y^2=X^3+{(C-m)}X^2-A^2{X}+A^2(m-C)</math>
*則橢圓曲線('''LH Curve''')：<math>Y^2=X^3-{(C+m)}X^2-B^2{X}+B^2(m+C)</math>

== 七 ==
已知<math>A,B,C\in \mathbb{Z}</math>使得<math>A+B=C</math>

若橢圓曲線('''Frey Curve''')：<math>y^2=x\left(x-A\right)\left(x+B\right)</math>存在整數解(x,y)，

則解(x,y)必須滿足'''李煌條件'''：<math>(2x-A)\mid (4y^2+A^{2}(C-x))</math>

則解(x,y)必須滿足'''李煌條件'''：<math>(2x+B)\mid (4y^2-B^{2}(C+x))</math>

==七==

当 n=3k+1 时

<math>x^n+y^n=z^n</math>

则：<math>\Longleftrightarrow{(4yz^2)}^{3n}+{({(4xz^2)}^n+{(4z^3)}^n)}^3=2^{6k+3}{z^{3n}}{(3{(4xz^2)}^{2n}+{(4z^3)}^{2n})}</math>

当 n=3k+2 时

<math>x^n+y^n=z^n</math>

则：<math>\Longleftrightarrow{(2yz^2)}^{3n}+{({(2xz^2)}^n+{(2z^3)}^n)}^3=2^{3k+3}{z^{3n}}{(3{(2xz^2)}^{2n}+{(2z^3)}^{2n})}</math>

==八==

*'''費馬曲線'''<math>a^{n}+b^{n}=c^{n},2\nmid n</math> 可以等價變換為兩條'''李煌橢圓曲線'''

'''LH橢圓曲線''':<math>y^2=x^{3}+b^{6n}+6a^{2n}b^{4n}-b^{3n}+{(9a^{4n}+3a^{n})}b^{2n}-3a^{2n}b^{n}+a^{3n}+1</math>

之解
<math> x={(-c)}^{n},y=b^n{(b^{2n}+3a^{2n})-1}</math>

'''LH橢圓曲線''':<math>y^2=x^3+a^{6n}+6b^{2n}a^{4n}-a^{3n}+{(9b^{4n}+3b^{n})}a^{2n}-3b^{2n}a^{n}+b^{3n}+1</math>

*'''費馬曲线'''：<math>a^n+b^n=c^n,2\mid n</math> 可以等價變換為兩條'''李煌橢圓曲線''' 

'''LH橢圓曲線''':<math>x^3=y^2+(a^n-b^n)^2c^n</math>

'''LH橢圓曲線''':<math>y^2=x(x+a^n-b^n)(x+b^n-a^n)</math>

== 九 ==
* <math>\Big( 3a^2 \pm \sqrt{12ab^3-3a^4} \Big)^3 = \Big( -3a^2 \pm \sqrt{12ab^3-3a^4} \Big)^3+(6ab)^3\,</math>
*: <math>b \ne 0\,</math>
* <math>\Bigg( 5a \pm \sqrt{-25a^2 \pm 10 \sqrt{5a^4+\frac{20b^5}{a}}} \Bigg) ^5 = \Bigg( -5a \pm \sqrt{-25a^2 \pm 10 \sqrt{5a^4+\frac{20b^5}{a}}} \Bigg) ^5 + {(10b)}^5\,</math>
*: <math>a \ne 0 , b \ne 0\,</math>

== 十 ==
* <math>z^6{(6y^4+2x^4)}=x^4,xyz\ne0,x\ne y,x\ne -y</math>不存在整数解
* <math>z^3{(6y^4+2x^4)}^2=x^2,xyz\ne0,x\ne y,x\ne -y</math>不存在整数解
* <math>6y^4+2x^4=x^4z^3,xyz\ne0,x\ne y,x\ne -y</math>不存在整数解
推论：x=z时，则<math>6y^4+2x^4=x^7,xy\ne0,x\ne y,x\ne -y</math>不存在整数解
* <math>3y^4+x^{12}=4z^3,xyz\ne0,y\ne x^3,y\ne -x^3</math>不存在整数解
* <math>{(6y^4+2x^4)}^2=x^2z^6,xyz\ne0,x\ne y,x\ne -y</math>不存在整数解
* <math>{(9x^4+y^4+6{y^2}{x^2)}}=16y^4z^6,xyz\ne0,x\ne y</math>不存在整数解
* <math>z^3{(9x^4+y^4+6{y^2}{x^2)}}=16y^4,xyz\ne0,x\ne y</math>不存在整数解
* <math>3x^2+y^2=256y^8z^3,xyz\ne0,x\ne y</math>不存在整数解
* <math>z^6{(3x^2+y^2)}=256y^8,xyz\ne0,x\ne y</math>不存在整数解
* <math>x^3=y^2+3</math>不存在 <math>y=4k^3</math>形式的整数解
* <math>x^3=3y^2+16z^6,xyz\ne0,y\ne 4z^3</math>不存在整数解

==参考==
http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

== 來源 ==
* 《南昌理工學院學報》.李煌

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