一元三次方程式

解法

階段一：變形去除三次項

1.$a{t}^3+b{t}^2+ct+d=0\Rightarrow$ 以 $t=x-\frac{b}{3a}$ 代入

2.得 $x^3+px+q=0$，令其三根為 $x_1,x_2,x_3$

階段二：變身為二次方程式

3.

令$\{\begin{array}{c}{x}_1=u+v\\ x_2=u\omega +v{\omega }^2\\ x_3=u{\omega }^2+v\omega \end{array}$	$\Rightarrow$	$(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$	$\Rightarrow$	$\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3=0\\ x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=-3uv=p\\ -x_1{x}_2{x}_3=-(u^3+v^3)=q\end{array}$

4.

設$\{\begin{array}{c}{y}_1=u^3\\ y_2=v^3\end{array}$	$\Rightarrow$	$\{\begin{array}{c}{y}_1+y_2=-q\\ y_1{y}_2=-(\frac{p}{3}{)}^3\end{array}$

5.故 $y_1,y_2$ 為 $y^2+qy+-(\frac{p}{3}{)}^3=0$ 的兩根

階段三：以二次方程式之兩根求三次方程式之三根

6.

$u=\sqrt[3]{y_1},v=\sqrt[3]{y_2}$	$\{\begin{array}{c}{x}_1=u+v\\ x_2=u\omega +v{\omega }^2\\ x_3=u{\omega }^2+v\omega \end{array}$

例題

例題一

題目：$x^3-3x+2=0$

1. $y_1,y_2$ 為 $y^2+2y+1=0$ 的兩根，分別為 -1,-1，各開三方後分別為 -1,-1
2. $x^3-3x+2=0$ 的三根為 -1+-1,-1ω+-1ω²,-1ω²+-1ω，即 -2,1,1

例題二

題目：$x^3-12x-16=0$

1. $y_1,y_2$ 為 $y^2-16y+64=0$ 的兩根，分別為 8,8，各開三方後分別為 2,2
2. $x^3-3x+2=0$ 的三根為 2+2,2ω+2ω²,2ω²+2ω，即 4,-2,-2

参见

• 一元四次方程式