静态分岔

本章从确定性的非线性动力学方程组出发，先从最基础的单摆开始，简单介绍方程解的渐进行为。然后再看当控制参数发生变化时非线性系统的变化，即分岔理论的目的。我们这里先讲解静态分岔，突变理论与动态分岔在下一章节。

单摆运动

设有一个单摆，我们知道其运动方程为：$\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\sin \theta =0$（1.1）

那么，当$\theta$的绝对值远小于1时，我们可以将方程1.1线性化为$\ddot{\theta }+\frac{g}{L}\theta =0$ （1.2）

通过振动力学的方式求解，得：$\theta (t)={\theta }_0\sin ({\omega }_{0}t+{\phi }_0)$ （1.3）

设我们将初始的摆角扩大n倍，那么我们就有角$\theta {\text{'}}_0=n{\theta }_0$，并有方程：${\theta }^{\prime }(t)=n{\theta }_0\sin (\omega t+{\phi }_0)$ （1.4）

上述解的基础都限于当$sin\theta \approx \theta$ 时，即$\theta$趋于零时的情况，那么当其数值并不小的时候，我们如何去求解？

首先，我们已经知道单摆运动的角度不得超过5度，当大于5度时，我们首先可以确立两个条件：

1. $mgsin\theta$提供了单摆的回复力。
2. 当回复力愈大时，加速度愈大，振动周期愈小，因而可见振动与回复力大小关系。

自然而然的，我们就可以试图去求其精确解，可得谐振动方程如下：

$\dot{\theta }=\omega$
$\dot{\omega }=-{\omega }_0^{2}sin\theta$ （1.5）

而单摆的振动周期就可以明确为：$T_0=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ （1.6）

我们将由位形变量和速度变量构成的空间称为状态空间，并可以用空间相图来展示系统的性态（有兴趣的可以自己试试，有利于理解相关概念）。

对方程1.5变形可得：$\frac{d\omega }{d\theta }=-\frac{{\omega }_0^{2}sin\theta }{\omega }$ （1.7）

为了解出方程1.7，我们需要关注其中一个变量$sin\theta$。

使用积分求出含有第一类椭圆积分的单摆周期公式，由机械能守恒定律可得方程式如下：

$\frac{1}{2}m{L}^2{\theta }^2+mgL(1-cos\theta )=mgL(1-cos{\theta }_0)$ （1.8）

那么通过如上公式，我们就可以判断角移$\theta =\sqrt{\frac{2g}{L}(cos\theta -cos{\theta }_0)}$（1.9）

展开方程1.9，我们就会得到利用椭圆积分计算表示的单摆周期运动，将此展开后截取最早的两项，就可以得到新的运动方程：

$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+{\omega }_0^2(\theta -\frac{{\theta }^3}{6})=0$ （1.10）

再对方程1.8简写，就可以看到一个新的方程如下：

$H=\frac{1}{2}{\omega }^2+{\omega }^2(1-cos\theta )$

$2H={\dot{\theta }}^2+4{\omega }_0^{2}si{n}^2\frac{\theta }{2}$ （1.11）

线性微分方程

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