School:李煌數學研究院/费马大定理之研究

一

代数方程$x^n+px=q$一定存在解

$x=(\frac{p(m-s)}{s}{)}^{\frac{1}{n-1}}$

其中m,p,q,s满足方程

$m^n{p}^n=s^n{q}^{(n-1)}+m^{(n-1)}s{p}^n$

二

定理：如果$a^n+b^n=1$ 成立

則 $b^{n+1}={(a^n{b}^{\frac{n+1}{n}}+b^{\frac{n^2+n+1}{n}})}^n$成立

三

已知：$2\nmid n,n\ge 1$

則李煌方程$x^{n+1}+(k+A^{n-1})x^n+k^n{A}^{n-1}=0$一定存在一個解$x=-k$

四

恒等式

$(a^{n^2}{b}^{n+1}{)}^{\frac{1}{n}}={({(a^n-b^n)}^n{b}^{n+1})}^{\frac{1}{n}}+{(b^{n^2+n+1})}^{\frac{1}{n}}$

六

已知$A,B,C\in \mathbb{Z}$使得$A+B=C$

若橢圓曲線(Frey Curve)：$y^2=x(x-A)(x+B)$存在解(m,n)，则可以等價變換為兩條橢圓曲線

• 則橢圓曲線(LH Curve)：$Y^2=X^3+(C-m)X^2-A^{2}X+A^2(m-C)$
• 則橢圓曲線(LH Curve)：$Y^2=X^3-(C+m)X^2-B^{2}X+B^2(m+C)$

七

已知$A,B,C\in \mathbb{Z}$使得$A+B=C$

若橢圓曲線(Frey Curve)：$y^2=x(x-A)(x+B)$存在整數解(x,y)，

則解(x,y)必須滿足李煌條件：$(2x-A)\mid (4y^2+A^2(C-x))$

則解(x,y)必須滿足李煌條件：$(2x+B)\mid (4y^2-B^2(C+x))$

七

当 n=3k+1 时

$x^n+y^n=z^n$

则：$⟺{(4y{z}^2)}^{3n}+{({(4x{z}^2)}^n+{(4z^3)}^n)}^3=2^{6k+3}{z}^{3n}(3{(4x{z}^2)}^{2n}+{(4z^3)}^{2n})$

当 n=3k+2 时

$x^n+y^n=z^n$

则：$⟺{(2y{z}^2)}^{3n}+{({(2x{z}^2)}^n+{(2z^3)}^n)}^3=2^{3k+3}{z}^{3n}(3{(2x{z}^2)}^{2n}+{(2z^3)}^{2n})$

八

• 費馬曲線$a^n+b^n=c^n,2\nmid n$ 可以等價變換為兩條李煌橢圓曲線

LH橢圓曲線:$y^2=x^3+b^{6n}+6a^{2n}{b}^{4n}-b^{3n}+(9a^{4n}+3a^n)b^{2n}-3a^{2n}{b}^n+a^{3n}+1$

之解 $x={(-c)}^n,y=b^n(b^{2n}+3a^{2n})-1$

LH橢圓曲線:$y^2=x^3+a^{6n}+6b^{2n}{a}^{4n}-a^{3n}+(9b^{4n}+3b^n)a^{2n}-3b^{2n}{a}^n+b^{3n}+1$

• 費馬曲线：$a^n+b^n=c^n,2\mid n$ 可以等價變換為兩條李煌橢圓曲線

LH橢圓曲線:$x^3=y^2+(a^n-b^n{)}^2{c}^n$

LH橢圓曲線:$y^2=x(x+a^n-b^n)(x+b^n-a^n)$

九

• $(3a^2\pm \sqrt{12a{b}^3-3a^4}{)}^3=(-3a^2\pm \sqrt{12a{b}^3-3a^4}{)}^3+(6ab{)}^3$

  $b\ne 0$

• $(5a\pm \sqrt{-25a^2\pm 10\sqrt{5a^4+\frac{20b^5}{a}}}{)}^5=(-5a\pm \sqrt{-25a^2\pm 10\sqrt{5a^4+\frac{20b^5}{a}}}{)}^5+{(10b)}^5$

  $a\ne 0,b\ne 0$

十

• $z^6(6y^4+2x^4)=x^4,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整数解
• $z^3{(6y^4+2x^4)}^2=x^2,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整数解
• $6y^4+2x^4=x^4{z}^3,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整数解

推论：x=z时，则$6y^4+2x^4=x^7,xy\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整数解

• $3y^4+x^{12}=4z^3,xyz\ne 0,y\ne x^3,y\ne -x^3$不存在整数解
• ${(6y^4+2x^4)}^2=x^2{z}^6,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整数解
• $(9x^4+y^4+6y^2{x}^2)=16y^4{z}^6,xyz\ne 0,x\ne y$不存在整数解
• $z^3(9x^4+y^4+6y^2{x}^2)=16y^4,xyz\ne 0,x\ne y$不存在整数解
• $3x^2+y^2=256y^8{z}^3,xyz\ne 0,x\ne y$不存在整数解
• $z^6(3x^2+y^2)=256y^8,xyz\ne 0,x\ne y$不存在整数解
• $x^3=y^2+3$不存在 $y=4k^3$形式的整数解
• $x^3=3y^2+16z^6,xyz\ne 0,y\ne 4z^3$不存在整数解

参考

-{R|http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html}-

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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