线性代数

线性公式

给定两点A(0,0)与B($x_o,y_o$)可以确定一条直线，该直线的斜率为：

$m=\frac{y_o}{x_o}$

因此

$y_o=m{x}_o$

对于在此条直线上的点C($x,y$)，可得斜率m

$m=\frac{y-y_o}{x-x_o}$

$y=y_o+m(x-x_o)$

线性方程

通用的形式为

$Ax=0$	$x=0$
$Ax=C$	$x=\frac{C}{A}$
$Ax+B=C$	$x=\frac{C-B}{A}$
$Ax+By=C$	$x=\frac{C}{A}$ （当 $y=0$ 时） $y=\frac{C}{B}$ （当 $x=0$ 时）

线性方程组

例子

$2x+y=11$

$-4x+3y=13$

线性方程组的根

变量消去

$2x+y=11$

$-4x+3y=13$

将第一行乘2，并加到第二行

$4x+2y=22$

$-4x+3y=13$

可得

$5y=35$ => $y=7$

将第一行乘3，并加到第二行

$-6x-3y=-33$

$-4x+3y=13$

可得

$-10x=-20$ => $x=2$

替换

如果你看到一个像这样的线性方程组

$2x+y=11$

$-4x+3y=13$

你可以将第一行通过移项得到

$y=-2x+11$

之后，你可以替换这一项到第二行，从而可得

$-4x+3(-2x+11)=13$

$-4x-6x+33=13$

$-10x+33=13$

$-10x=-20$

$x=2$

之后，你可以将 x = 2 代替到原方程组中的任一个方程，从而解得 y = 7。通常，当原方程组中有一项单独的y时，使用这个方法更加简单。

行列式

如果你看到了一个像这样的方程组

$2x+y=11$

$-4x+3y=13$

用y来解

$x+\frac{1}{2}y=\frac{11}{2}$

$x+\frac{3}{-4}y=\frac{13}{-4}$

$y(\frac{1}{2}-\frac{3}{4})=\frac{11}{2}-\frac{13}{-4}$

$y=\frac{\frac{11}{2}-\frac{13}{-4}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}}$

用x来解

$2x+y=11$

$\frac{-4}{3}x+y=\frac{13}{3}$

$x(2-\frac{-4}{3})=11-\frac{13}{3}$

$x=\frac{\frac{11}{2}-\frac{13}{-4}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{4}}$

线性方程组的通解

$A_{1}x+B_{1}y=C_1$

$A_{2}x+B_{2}y=C_2$

消去变量x

$x+\frac{B_1}{A_1}y=\frac{C_1}{A_1}$

$x+\frac{B_2}{A_2}y=\frac{C_2}{A_2}$

二式相减

$y(\frac{B_1}{A_1}-\frac{B_2}{A_2})=\frac{C_1}{A_1}-\frac{C_2}{A_2}$

用y来解

$y=\frac{\frac{C_1}{A_1}-\frac{C_2}{A_2}}{\frac{B_1}{A_1}-\frac{B_2}{A_2}}$

消去变量y

$\frac{A_1}{B_1}x+y=\frac{C_1}{B_1}$

$\frac{A_2}{B_2}x+y=\frac{C_2}{B_2}$

二式相减

$x(\frac{A_1}{B_1}-\frac{A_2}{B_2})=\frac{C_1}{B_1}-\frac{C_2}{B_2}$

用x来解

$x=\frac{\frac{C_1}{B_1}-\frac{C_2}{B_2}}{\frac{A_1}{B_1}-\frac{A_2}{B_2}}$

参考

• 矩阵
• 维基百科：线性代数
• 维基教科书：线性代数

外部链接

• OER Matrices content at Wikieducator
• -{R|https://www.bilibili.com/video/av15463995}- 麻省理工学院 18.06 线性代数, 2005春季 - 视频教程，中英字幕 Bilibili]
• -{R|https://github.com/apachecn/math/}- 麻省理工学院 线性代数课程笔记
• Khan Academy Linear Algebra videos
• Interactive online programs and Linear Algebra tutorial