三角函數精確值

三角函數精確值是利用三角函數的公式將特定的三角函數值加以化簡，並以數學根式或分數表示

用根式或分數表達的精確三角函數有時很有用，主要用於簡化的解決某些方程式能進一步化簡。

注意：以下為相同角度的轉換表：

相同角度的轉換表

角度單位	值
轉	$\mathrm{𝟎}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{4}$	$\mathrm{𝟏}$
角度	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
弧度	$\mathrm{𝟎}$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
梯度	$0^g$	$33{\frac{1}{3}}^g$	$50^g$	$66{\frac{2}{3}}^g$	$100^g$	$200^g$	$300^g$	$400^g$

計算方式

基於常識

例如：0°、30°、45°

單位圓

經由半角公式的計算

例如：15°、22.5°

$\sin \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1}{2}(1-\cos x)}$

$\cos \left(\frac{x}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos x)}$

利用三倍角公式求$\frac{1}{3}$角

例如：10°、20°、7°......等，非三的倍數的角的精確值。

• $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta$

• $\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$

把它改為

• $\sin \theta =3\sin \frac{1}{3}\theta -4{\sin }^3\frac{1}{3}\theta$
• $\cos \theta =4{\cos }^3\frac{1}{3}\theta -3\cos \frac{1}{3}\theta$

把$\cos \frac{1}{3}\theta$當成未知數，$\cos \theta$當成常數項 解一元三次方程式即可求出

例如：$\sin \frac{\pi }{9}=\sin 20^{\circ }=\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{16}+\sqrt{-\frac{1}{256}}}+\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{16}-\sqrt{-\frac{1}{256}}}$

經由合角公式的計算

例如：21° = 9° + 12°

$\sin (x\pm y)=\sin (x)\cos (y)\pm \cos (x)\sin (y)$

$\cos (x\pm y)=\cos (x)\cos (y)\mp \sin (x)\sin (y)$

經由托勒密定理的計算

Chord(36°) = a/b = 1/f, from 托勒密定理

例如：18°

$\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{d}36^{\circ }=\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{d}\left(\mathrm{\angle }\mathrm{A}\mathrm{D}\mathrm{B}\right)=\frac{a}{b}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}$

$\mathrm{c}\mathrm{r}\mathrm{d}\theta =2\sin \frac{\theta }{2}$

$\sin 18^{\circ }=\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$

三角函數精確值列表

由於三角函數的特性，大於45°角度的三角函數值，可以經由自0°～ 45°的角度的三角函數值的相關的計算取得。

0°: 根本

$\sin 0=0$

$\cos 0=1$

$\tan 0=0$

3°: 正60邊形

$\sin \frac{\pi }{60}=\sin 3^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1-\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}+1)]$

$\cos \frac{\pi }{60}=\cos 3^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1+\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)(\sqrt{3}-1)]$

$\tan \frac{\pi }{60}=\tan 3^{\circ }=\frac{1}{4}[(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2][2-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

6°: 正30邊形

$\sin \frac{\pi }{30}=\sin 6^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{6(5-\sqrt{5})}-\sqrt{5}-1]$

$\cos \frac{\pi }{30}=\cos 6^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2(5-\sqrt{5})}+\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)]$

$\tan \frac{\pi }{30}=\tan 6^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{2(5-\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)]$

9°: 正20邊形

$\sin \frac{\pi }{20}=\sin 9^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)-2\sqrt{5-\sqrt{5}}]$

$\cos \frac{\pi }{20}=\cos 9^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)+2\sqrt{5-\sqrt{5}}]$

$\tan \frac{\pi }{20}=\tan 9^{\circ }=\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

10°

${}_{\tan 10^{\circ }=-\frac{-1-\sqrt{3}\mathrm{i}}{6}\sqrt[3]{-12\sqrt{3}+36\mathrm{i}}-\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{6}\sqrt[3]{-12\sqrt{3}-36\mathrm{i}}+\frac{\sqrt{3}}{3}}$

12°: 正十五邊形

$\sin \frac{\pi }{15}=\sin 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2(5+\sqrt{5})}-\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{\pi }{15}=\cos 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1]$

$\tan \frac{\pi }{15}=\tan 12^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{3}(3-\sqrt{5})-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}]$

15°: 正十二邊形

$\sin \frac{\pi }{12}=\sin 15^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)$

$\cos \frac{\pi }{12}=\cos 15^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)$

$\tan \frac{\pi }{12}=\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$

18°: 正十邊形

$\sin \frac{\pi }{10}=\sin 18^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)=\frac{1}{2}{\phi }^{-1}$

$\cos \frac{\pi }{10}=\cos 18^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}$

$\tan \frac{\pi }{10}=\tan 18^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}$

20°: 正九邊形 和 60°的三分之一($\frac{1}{3}$ 60°)

$\sin \frac{\pi }{9}=\sin 20^{\circ }=\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{16}+\sqrt{-\frac{1}{256}}}+\sqrt[3]{-\frac{\sqrt{3}}{16}-\sqrt{-\frac{1}{256}}}=$

$2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{i-\sqrt{3}}-\sqrt[3]{i+\sqrt{3}})$

$\cos \frac{\pi }{9}=\cos 20^{\circ }=$

$2^{-\frac{4}{3}}(\sqrt[3]{1+i\sqrt{3}}+\sqrt[3]{1-i\sqrt{3}})$

21°: 9° 與 12°的和

$\sin \frac{7\pi }{60}=\sin 21^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(1+\sqrt{5})]$

$\cos \frac{7\pi }{60}=\cos 21^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(1+\sqrt{5})]$

$\tan \frac{7\pi }{60}=\tan 21^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5})][2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

$(21{\frac{3}{17}}^{\circ }),$(360/17)°：正17邊形

$\cos \frac{2\pi }{17}=\frac{-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}}}{16}.$

22.5°: 正八邊形

$\sin \frac{\pi }{8}=\sin 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}(\sqrt{2-\sqrt{2}}),$

$\cos \frac{\pi }{8}=\cos 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}(\sqrt{2+\sqrt{2}})$

$\tan \frac{\pi }{8}=\tan 22.5^{\circ }=\sqrt{2}-1$

24°: 兩倍的 12° 角

$\sin \frac{2\pi }{15}=\sin 24^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2}\sqrt{5-\sqrt{5}}]$

$\cos \frac{2\pi }{15}=\cos 24^{\circ }=\frac{1}{8}(\sqrt{6}\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1)$

$\tan \frac{2\pi }{15}=\tan 24^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{2(25+11\sqrt{5})}-\sqrt{3}(3+\sqrt{5})]$

25(6/7)°，(180/7)°：正七邊形

$\cos \frac{\pi }{7}=\cos {\frac{180}{7}}^{\circ }=\cos 25{\frac{6}{7}}^{\circ }=\frac{1}{6}+\frac{1-\sqrt{3}i}{24}\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}i}+\frac{1+\sqrt{3}i}{24}\sqrt[3]{28-84\sqrt{3}i}$

27°: 12° 與 15° 的和

$\sin \frac{3\pi }{20}=\sin 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{3\pi }{20}=\cos 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\tan \frac{3\pi }{20}=\tan 27^{\circ }=\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

30°: 正六邊形

$\sin \frac{\pi }{6}=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\cos \frac{\pi }{6}=\cos 30^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{3}$

$\tan \frac{\pi }{6}=\tan 30^{\circ }=\frac{1}{3}\sqrt{3}$

33°: 15° 與 18° 之和

$\sin \frac{11\pi }{60}=\sin 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1+\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{11\pi }{60}=\cos 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1-\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\tan \frac{11\pi }{60}=\tan 33^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})][2+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

36°: 正五邊形

$\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }=\frac{1}{4}[\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\cos \frac{\pi }{5}=\cos 36^{\circ }=\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\frac{1}{2}\phi$

$\tan \frac{\pi }{5}=\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

39°: 18°角加21°角

$\sin \frac{13\pi }{60}=\sin 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1-\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)]$

$\cos \frac{13\pi }{60}=\cos 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1+\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)]$

$\tan \frac{13\pi }{60}=\tan 39^{\circ }=\frac{1}{4}[(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2][2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

42°: 21°的兩倍

$\sin \frac{7\pi }{30}=\sin 42^{\circ }=\frac{\sqrt{6}\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{5}+1}{8}$

$\cos \frac{7\pi }{30}=\cos 42^{\circ }=\frac{\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{3}(\sqrt{5}-1)}{8}$

$\tan \frac{7\pi }{30}=\tan 42^{\circ }=\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5}+1)-\sqrt{2}\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2}$

45°: 正方形

$\sin \frac{\pi }{4}=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \frac{\pi }{4}=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan \frac{\pi }{4}=\tan 45^{\circ }=1$

參見

• 可作图多边形
• 三角數
• 十七邊形

參考文獻

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  • π/3 (60°) — π/6 (30°) — π/12 (15°) — π/24 (7.5°)
  • π/4 (45°) — π/8 (22.5°) — π/16 (11.25°) — π/32 (5.625°)
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