开方

开方是乘法的逆运算，是第5种算法，现在一般都是借助计算机计算。以前是利用牛顿二项式定理开方，现在有开平方公式和开立方公式。

求方根公式

x_{n + 1} = x_{n} - \frac{f (x_{n})}{f^{'} (x_{n})}

=

X_{n} + (A / X_{n}^{k} - X_{n}) 1 / k

　 $X_{n + 1} = X_{n} + (A / X_{n}^{2} - X_{n}) 1 / 3$ ，

　　例如，A=5，k=3,即求： $\sqrt[3]{5}$

　　　5介于 $1^{3}$ 至 $2^{3}$ 之间（1的3次方=1，2的3次方=8）

　　初始值 $X_{0}$ 可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我们取 $X_{0} = 2 .$ 按照公式：

　　第一步： $X_{1} = 2 + (5 / 2^{2} - 2) 1 / 3$ =1.75。输入值大于输出值，负反馈；

即5/2×2=1.25，1.25-2=-0.75，-0.75×1/3=-0.25，2+(-0.25)=1.75，比前面多取一位數。即取2位数值,即1.7。

　　第二步： $X_{2} = 1.7 + (5 / 1 . 7^{2} - 1.7) 1 / 3$ =1.71.输入值小于输出值，正反馈。

即5/1.7×1.7=1.73010，1.7301-1.7=0.03，0.03×1/3=0.01，1.7+0.01=1.71。取3位数，比前面多取一位数。

　　第三步： $X_{3} = 1.71 + (5 / 1.7 1^{2} - 1.71) 1 / 3$ =1.709.

　　第四步： $X_{4} = 1.709 + (5 / 1.70 9^{2} - 1.709) 1 / 3$ =1.7099

　　这种方法可以自动调节，第一步与第三步取值偏大，但是计算出来以后输出值会自动转小；第二步，第四步输入值

偏小，输出值自动转大。即 $5 = 1.709 9^{3}$ .

　　当然初始值 $X_{0}$ 也可以取1.1，1.2，1.3，。。。1.8，1.9中的任何一个,都是 $X_{1} = 1.7 >$ 。當然，我們在實際中初始值最好採用中間值，即1.5。 $X_{1} = 1.5 + (5 / 1 . 5^{2} - 1.5) 1 / 3$ =1.7。

如果用這個公式開平方，只需將 $X^{2}$ 改成 $X^{1}$ ，1/3改成1/2。即

$X_{n + 1} = X_{n} + (A / X_{n} - X_{n}) 1 / 2 .$

例如，A=5：

5介於 $2^{2}$ 至 $3^{2}$ 之間。我們取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9都可以，我們最好取

中間值2.5。

第一步： $X_{1} = 2.5 + (5 / 2.5 - 2.5) 1 / 2$ =2.2；

即5/2.5=2，2-2.5=-0.5，-0.5×1/2=-0.25，2.5+(-0.25)=2.25，取2位數2.2。

第二步： $X_{2} = 2.2 + (5 / 2.2 - 2.2) 1 / 2$ =2.23；即5/2.2=2.272727，2.272727-2.2=-0.072727，-0.072727×1/2=-0.036363，2.2+0.036363=2.23。取3位數。

第三步： $X_{3} = 2.23 + (5 / 2.23 - 2.23) 1 / 2$ =2.236；

即5/2.23=2.242,2.242-2.23=0.012,0.012×1/2=0.006,2.23+0.006=2.236.

每一步多取一位數。計算次數與計算精確度成為正比。這個方法又叫反饋開方，即使你輸入一個錯誤的數值，也沒有關係，輸出值會自動調節，接近準確值。

这个方法的依据是根据牛顿切线法得来。也可以通过牛顿二项式定理推出。