School:李煌數學研究院/三元高次丟番圖方程之研究

李煌定理

• $z^6(6y^4+2x^4)=x^4,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整數解
• $z^3{(6y^4+2x^4)}^2=x^2,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整數解
• $6y^4+2x^4=x^4{z}^3,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整數解

推論：x=z時，則$6y^4+2x^4=x^7,xy\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整數解

• $3y^4+x^{12}=4z^3,xyz\ne 0,y\ne x^3,y\ne -x^3$不存在整數解
• ${(6y^4+2x^4)}^2=x^2{z}^6,xyz\ne 0,x\ne y,x\ne -y$不存在整數解
• $(9x^4+y^4+6y^2{x}^2)=16y^4{z}^6,xyz\ne 0,x\ne \pm y$不存在整數解
• $z^3(9x^4+y^4+6y^2{x}^2)=16y^4,xyz\ne 0,x\ne \pm y$不存在整數解
• $3x^2+y^2=256y^8{z}^3,xyz\ne 0$不存在整數解

推論：y=z時，則$3x^2+y^2=256y^{11},xy\ne 0$不存在整數解

• $z^6(3x^2+y^2)=256y^8,xyz\ne 0$不存在整數解
• $x^3=3y^2+16z^6,xyz\ne 0,y\ne 4z^3$不存在整數解

推論：$x^3=y^2+3$不存在 $y=4k^3$形式的整數解

推广：

• $x^3=y^2+3z^4,xyz\ne 0,z\ne 0$不存在 $y=4k^3$形式的整數解
• $x^3=3y^2+1024z^{30},xyz\ne 0,y\ne 32z^{15}$不存在整數解
• $z^3=64x^6+3y^2-24x^{3}y,y\ne 0$不存在整數解
• $z^3=2^{24}{x}^{66}+3y^2-2^{12}(3x^{33})y,y\ne 0$不存在整數解

參考文獻

[1]

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌
• -{R|http://www.mftp.info/20140202/1392101138x1873735091.jpg}-

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