School:李煌數學研究院/李煌勾股解

一

$x^4$, $y^2$, $z^2$	$x^4$, $y^2$, $z^2$, $w^2$	$x^4$, $y^2$, $z^2$, $w^2$, $v^2$	$x^4$, $y^2$, $z^2$, $w^2$, $v^2$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：	勾股方程x2+y2+z2=w2之李煌解：	勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：	勾股方程x4+y2+z2=w2+v2之李煌解：
$\{\begin{array}{c}x=a+\sqrt{2b^2-a^2}\\ y=a-\sqrt{2b^2-a^2}\\ z=2b\end{array}$	$\{\begin{array}{c}x=a^2\\ y=2ab\\ z=2b^2\\ w=a^2+2b^2\end{array}$	$\{\begin{array}{c}x=a^3-4\\ y=2a^2\\ z=2a^3-2a-4\\ w=a^3-2a-4\\ v=2a^3-4\end{array}$	$\{\begin{array}{c}x=(3a^2+b^2)b-1\\ y=2(a+b{)}^2\\ z=((3a^2+b^2)b-1{)}^2-(a+b{)}^3+2(a+b)\\ w=((3a^2+b^2)b-1{)}^2+2(a+b)\\ v=((3a^2+b^2)b-1{)}^2-(a+b{)}^3\end{array}$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：		勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：
$\{\begin{array}{c}x=a-\sqrt{2b^2-a^2}\\ y=a+\sqrt{2b^2-a^2}\\ z=2b\end{array}$		$\{\begin{array}{c}x=2a^2-1\\ y=2a\\ z=4a^2-2\\ w=2a^2-2\\ v=4a^2-1\end{array}$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：		勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：
$\{\begin{array}{c}x=2a+2\\ y=a^2+2a\\ z=a^2+2a+2\end{array}$		$\{\begin{array}{c}x=a^3+b\\ y=2a^2\\ z=2(a^3-a)+b\\ w=a^3-2a+b\\ v=2a^3+b\end{array}$
勾股方程x2+y2=z2之李煌解：		勾股方程x2+y2+z2=w2+v2之李煌解：
$\{\begin{array}{c}x=2a-2\\ y=a^2-2a\\ z=a^2-2a+2\end{array}$		$\{\begin{array}{c}x=a-b\\ y=2b\\ z=2(a+b)\\ w=a+3b\\ v=2a\end{array}$

二

• 不定方程$(3b^2+a)x^2+y^2=z^4$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=\pm (8b^3+4ab)\\ y=\pm (8b^4-a^2)\\ z=\pm (4b^2+a)\end{array}$

• 不定方程$(3b^2-a)x^2+y^2=z^4$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=8b^3-4ab\\ y=8b^4-a^2\\ z=4b^2-a\end{array}$

• 不定方程$(2a+4b^2)x^2+y^2=z^2$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=\pm 2b\\ y=\pm a\\ z=\pm (a+4b^2)\end{array}$

• 不定方程$(a+b^2)x^2+y^2=z^2$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=\pm 2b\\ y=\pm a\\ z=\pm (a+2b^2)\end{array}$

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌
• -{R|http://www.mftp.info/20140201/1391475278x1873697544.jpg}-
• -{R|http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html}-

<<School:李煌數學研究院