School:李煌數學研究院/橢圓曲線之研究

一

• 不定方程$y^2=x^3+k$之李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=2a^2+2\sqrt{a^4-a\sqrt{k}}\\ y=ax+\frac{x^2}{4a}\\ a=\frac{y+\sqrt{k}}{2x}\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{c}x=2a^2-2\sqrt{a^4-a\sqrt{k}}\\ y=ax+\frac{x^2}{4a}\\ a=\frac{y+\sqrt{k}}{2x}\end{array}$

推論：

二

存在無限多 無理數a, 使得$x=2a^2-2\sqrt{a^4-a\sqrt{3}}$之x為有理數

例如： $x=1,a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$

例如： $x=2,a=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}$

存在無限多 無理數a, 使得$x=2a^2+2\sqrt{a^4-a\sqrt{3}}$之x為有理數

例如： $x=3,a=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{3}}{6}$

例如： $x=4,a=\frac{\sqrt{67}+\sqrt{3}}{6}$

三

李煌橢圓曲線：$y^2=x^3+x^2-x-1$

存在 $y=(4a)(2a^2+1),\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z}$李煌形式的无穷多整數解

存在 $y=a(a^2+2),\mathrm{\forall }a\in \mathbb{Z}$李煌形式的无穷多整數解

不存在其它形式的整數解

例如：$a=13,y=(4a)(2a^2+1)=17628$

李煌橢圓曲線：$y^2=x^3+x^2-x-1$存在整数解(677,17628)

例如：$a=14,y=(4a)(2a^2+1)=22008$

李煌橢圓曲線：$y^2=x^3+x^2-x-1$存在整数解(785,22008)

四

若橢圓曲線(Legendre Normal Form)：$y^2=x(x-1)(x-\lambda )$存在解(m,n)，

可以等價變換為兩條李煌橢圓曲線

• 橢圓曲線(LH Curve)：$Y^2=X^3+(1-\lambda -m)X^2-X+(m+\lambda -1)$
• 橢圓曲線(LH Curve)：$Y^2=X^3+(\lambda -1-m)X^2-{\lambda }^{2}X+{\lambda }^2(m+1-\lambda )$

五

橢圓型未定方程：

• $x^3=y^2+54$僅有兩組整數解$(7,\pm 17)$

参考文献

-{R|http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html}-

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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