School:李煌數學研究院/費馬n次方程之研究

一

• 不定方程$x^n+y^2=z^2$存在無窮多整數解,之解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=2b\\ y=\pm ((2b{)}^{n-2}-b^2)\\ z=\pm ((2b{)}^{n-2}+b^2)\end{array}$

二

• 不定方程$x^n+y^3=z^3$之全体解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=3b\\ y=\frac{-9b^3+\sqrt{4(3b{)}^{n-3}-27b^6}}{2}\\ z=\frac{9b^3+\sqrt{4(3b{)}^{n-3}-27b^6}}{2}\end{array}$

$\{\begin{array}{c}x=b\\ y=\frac{-3b^3+\sqrt{12b^{n-3}-3b^6}}{6}\\ z=\frac{3b^3+\sqrt{12b^{n-3}-3b^6}}{6}\end{array}$

三

• 不定方程$(a^2+27b^6-9a{b}^3)x^3+y^3=z^3$存在整數解,之解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=3b\\ y=a-9b^3\\ z=a\end{array}$

四

• 不定方程$x^3+y^3=z^3$等價于:

不等方程$(z-y{)}^3+3y(z-y{)}^2+3y^2(z-y)=x^3$

不等方程$(z-x{)}^3+3x(z-x{)}^2+3x^2(z-x)=y^3$

五

• 不定方程$(10^5{b}^{20}+10^4{b}^{10}-50000b^{15}+50-1000b^5)x^5+y^5=z^5$存在整數解,之解爲李煌解:

$\{\begin{array}{c}x=ab\\ y=a-10a{b}^5\\ z=a\end{array}$

六

• 形如$2a^2-2ab+b^2,\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}$之整數一定能表示為兩平方數之和，且該形式是整數能表為兩平方數之和之充要條件.
• 形如$2(a^2+2b^2-2ab),\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}$之偶數一定能表示為兩平方數之和，且該形式是偶數能表為兩平方數之和之充要條件.

参考文献

-{R|http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html}-

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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