School:李煌數學研究院/黎曼函数与分圆整数内在深刻联系

黎曼zeta函數與分圓整數內在深刻聯繫

一

$\zeta (s)=\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^s}=\prod _{m=0}^{n-1}\frac{1}{1-e^{i\frac{2m\pi }{n}}((2^{-s})+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_k^{-s}\prod _{j=0}^{k-1}(1-p_j^{-s}){)}^{\frac{1}{n}}}$

二

$\zeta (s)=\sum _{x=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^s}=\frac{1}{n}\sum _{m=0}^{n-1}\frac{1}{1-e^{i\frac{2m\pi }{n}}((2^{-s})+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_k^{-s}\prod _{j=0}^{k-1}(1-p_j^{-s}){)}^{\frac{1}{n}}}$

$p_0=2,p_1=3,p_2=5,p_3=7,...,p_i,...$

$p_i\in primes$ in order

$\mathrm{\forall }n\ge 1,\in \mathbb{Z}$

思考

顯然該公式當n=1和n=2時簡化爲著名的歐拉連乘積形式，但n=3時的簡化形式呢,n=4時或等于後續整數時的簡化形式呢，這引起過您深入之思考嗎？

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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