双生质数

什么是孪生素数猜想

素数p与素数p+2有无穷多对

孪生素数的公式

利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数$q$与$q+2$都不能被任何不大于$\sqrt{q+2}$的素数 整除，则$q$与$q+2$都是素数”。这是因为一个自然数$n$是素数当且仅当它不能被任何小于等于$\sqrt{n}$的素数整除。 用数学的语言表示以上的结论，就是：

存在一组自然数$b_1,b_2,\cdot ,b_k$，使得

$q=p_1{m}_1+b_1=p_2{m}_2+b_2=\dots =p_k{m}_k+b_k\cdots (1)$

其中 $p_1,p_2,\dots ,p_k$表示从小到大排列时的前k个素数：2，3，5，....。并且满足

$\mathrm{\forall }1\le i\le k,0<b_i<p_i,b_i\ne 0,b_i\ne p_i-2.$

这样解得的自然数$q$如果满足$q<p_{K+1}^2-2$,则$q$与$q+2$是一对孪生素数。 我们可以把（1）式的内容等价转换成为同余方程组表示：

$q\equiv b_1(\mathrm{mod}{p}_1),q\equiv b_2(\mathrm{mod}{p}_2),\dots ,q\equiv b_k(\mathrm{mod}{p}_k)\cdots (2)$

由于（2）的模$p_1$,$p_2$,...,$p_k$都是素数，因此两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的$b_1,b_2,\cdot ,b_k$，（2）式有唯一一个小于$p_1{p}_2\cdots p_k$的正整数解。

范例

例如k=1时，$q=2m_1+1$，解得$q=3,5$。由于$5<3^2-2$，所以可知$3$与$3+2$、$5$与$5+2$都是孪生素数。这样就求得了区间$(3,3^2)$里的全部孪生素数对。

又比如k=2时，列出方程$q=2m_1+1=3m_2+2$，解得$q=5,11,17$。由于$17<5^2-2$，所以$11$与$11+2$、$17$与$17+2$都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的$b_1,b_2,\cdot ,b_k$值，所以这样就求得了区间$(5,5^2)$的全部孪生素数对。

k=3时	$5m_3+1$	$5m_3+2$	$5m_3+4$
$q=2m_1+1=3m_2+2$=	11,41	17	29

由于这已经是所有可能的$b_1,b_2,\cdot ,b_k$值，所以这样就求得了区间$(7,7^2)$的全部孪生素数对。

k=4时	$7m_4+1$	$7m_4+2$	$7m_4+3$	$7m_4+4$	$7m_4+6$
$q=2m_1+1=3m_2+2=5m_3+1$=	71	191	101	11	41
$q=2m_1+1=3m_2+2=5m_3+2$=	197	107	17	137	167
$q=2m_1+1=3m_2+2=5m_3+4$=	29	149	59	179	209

　　 　由于这已经是所有可能的$b_1,b_2,\cdot ,b_k$值，所以这样就求得了区间$(11,11^2)$的全部孪生素数对（8个小于121-2的解）。　　　 　　 仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。对于所有可能的$b_1,b_2\cdot ,b_k$值，(1)和(2)式在$p_1$$p_2$...$p_k$范围内，有 （$p_1-1$）（$p_2-2$）($p_3-2$)...（$p_k-2$）（3） 个解。

结论推广

孪生素数猜想就是在k值任意大时（1）和（2）式都有小于$p_{k+1}^2-2$的解。