哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是加法数论中的一个分支，1900年德国数学家希尔伯特专门介绍了这个重要的问题

希尔伯特的讲话

8. Problems of prime numbers
8=3+5，

36=31+5，

....。就是哥德巴赫猜想。

• 哥德巴赫猜想：任一大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和。

Template:Quote因为偶数2N=(N+X)+(N-X). 就是哥德巴赫猜想。

架构

若自然数n不能被不大于$\sqrt{n}$任何素数整除，则n是一个素数。  
    
   
  可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：  
   
  $n=p_1{m}_1+a_1=p_2{m}_2+a_2=\dots =p_k{m}_k+a_k.$......(1)  
   
  其中 $p_1,p_2,\dots ,p_k$表示顺序素数2，3，5，....。$a$≠0。

  若$n<P_{k+1}^2$,则n是一个素数。  
   
  我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示  ：

  $n\equiv a_1(\mathrm{mod}{p}_1),n\equiv a_2(\mathrm{mod}{p}_2),\dots ,n\equiv a_k(\mathrm{mod}{p}_k)$.......（2）  
   
  由于（2）的模$p_1$,$p_2$,...,$p_k$ 两两互素， 
  根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的$a_1$,$a_2$,...,$a_k$，（2）式在$p_1$$p_2$...$p_k$范围内有唯一解。  
   

范例

  k=1时，$n=2m_1+1$，解得n=3，5，7。求得了（3，3²）区间的全部素数。  
   
  k=2时，$n=2m_1+1=3m_2+1$，解得n=7，13，19； $n=2m_1+1=3m_2+2$，

解得n=5，11，17，23。

  求得了（5，5²）区间的全部素数。  

k=3时	$5m_3+1$	$5m_3+2$	$5m_3+3$	$5m_3+4$
$n=2m_1+1=3m_2+1=$	31	7,37	13,43	19
$n=2m_1+1=3m_2+2=$	11,41	17,47	23	29

  |}求得了（7,7²）区间的全部素数。  
   
  仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
  对于所有可能的$a_1,a_2\cdot ,a_k$值，(1)和(2)式在$p_1$$p_2$...$p_k$范围内，

有（$p_1-1$）（$p_2-1$）($p_3-1$)...（$p_k-1$） 个解。

（1）式（2）式与哥德巴赫猜想的合理框架

怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数，即N+X成为素数，N-X也是素数。

根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q和r（0≤r＜b），使a=bq+r”。

再根据同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，...，m-1中一数同余（mod m）”。

所以，任给一个自然数N(N>4)，都可以唯一表示成为：

$N=p_1{m}_1+e_1=p_2{m}_2+e_2=\dots =p_k{m}_k+e_k.$(3)

其中 $p_1,p_2,\dots ,p_k$表示顺序素数2，3，5，....。$e_i=0,1,2,...,P_i-1$。

$\frac{p_k^2}{2}$ < N < $\frac{p_{k+1}^2}{2}$

现在问，是否存在X,

$X=p_1{h}_1+f_1=p_2{h}_2+f_2=\dots =p_k{h}_k+f_k.$（4）

$f_i$≠$e_i$，

$f_i$≠$p_i-e_i$。

如果X<N-2，则N+X与N-X都是素数，因为它们符合（1）（2）式。

範例

設N=20，$20=2m_1+0=3m_2+2=5m_3+0$；

$\frac{5^2}{2}$ < 20 < $\frac{7^2}{2}$

$e_1=0$,$e_2=2$,$e_3=0$.

构造x	$5h_3+1$	$5h_3+2$	$5h_3+3$	$5h_3+4$
$X=2h_1+1=3h_2+0=$	21	27	3	9
$f_i$≠$e_i$，$f_i$≠$p_i-e_i$	$f_1=1$，$f_2=0$，$f_3=1$.	$f_1=1$，$f_2=0$，$f_3=2$.	$f_1=1$，$f_2=0$，$f_3=3$.	$f_1=1$，$f_2=0$，$f_3=4$.

四个解是：21，27，3，9。小于N-2的X有3和9，我们得知，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。 这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且$N+X<P_{k+1}^2$,则N+X与N-X是一对素数。

因为（N+X）+（N-X）=2N。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想， 我们需要证明（4）式必然有小于N-2的解，尽管我们现在不能证明它。 埃拉托斯特尼筛法的普遍公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把问题转入到初等数论范围。 顺便补充一句，（N+X）+（N-X）=2N是一种一维对称（群，伽逻华20岁死于决斗，他留下的思想“群”是将万物绑在一起的粘合剂，对称无所不在，例如镜面对称是二维对称。）

以往证明都是错误的

设a,b,c是所谓“殆素数”，即n个素数的乘积：

• 是否【1+1】包含在【1+c】或者【a+b】之内？ 如果回答：是！
• 证明程式是否可以从【1+c】或者【a+b】到达【1+1】？ 如果回答：是！
• 【1+1】是否可以必然从【1+c】或者【a+b】中剥离出来？ 如果回答：是！
• 如果最后证明了【1+1】不能成立，前面三条就是错误的。

分析一，就是说，前面三条是在假定【1+1】必须正确的情况下的“成果”，这个就荒唐了，我们还不知道最后是否正确，就假定了最后成果必然正确。

分析二，如果前面三条不能成立或者不能肯定必然成立，怎么可以算是“成果”呢？ 也就是说，从v布龙开始，到王元潘承洞陈景润等都是建立在非逻辑前提下的证明，因此证明无效。

关于假定

• 假定。只能用在否定结果的证明中，例如，欧几里得证明素数无穷多个。假定a成立，可以推出b，得到c，c与a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
• 假定不能用在肯定的结论。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（这个就是预期理由的错误）
• 为什么“假定”只能用于否定的结论，而不能用于肯定的结论？

一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。

参见

• 孙子定理

外部链接

素数公式