查看“︁双生质数”︁的源代码

==什么是孪生素数猜想==
素数p与素数p+2有无穷多对
==孪生素数的公式==
利用素数的判定法则，可以得到以下的结论：“若自然数<math>q</math>与<math>q+2</math>都不能被任何不大于<math>\sqrt{q+2}</math>的素数
[[整除]]，则<math>q</math>与<math>q + 2</math>都是素数”。这是因为一个自然数<math>n</math>是素数[[当且仅当]]它不能被任何小于等于<math>\sqrt{n}</math>的素数整除。
用数学的语言表示以上的结论，就是：
:存在一组自然数<math>b_{1}, b_{2}, \cdot , b_{k}</math>，使得
:<math>q=p_{1}m_{1}+b_{1}=p_{2}m_{2}+b_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+b_{k} \qquad \qquad \qquad \cdots \qquad (1)</math>
其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示从小到大排列时的前''k''个素数：2，3，5，....。并且满足
:<math>\forall 1 \le i  \le k, \ \ 0 < b_{i} < p_{i}, \ b_{i} \neq 0, \ b_{i} \neq p_{i} - 2.</math>
这样解得的自然数<math>q</math>如果满足<math>q<p^{2}_{K+1}-2</math>,则<math>q</math>与<math>q+2</math>是一对孪生素数。
我们可以把（1）式的内容等价转换成为同余方程组表示：
:<math>q \equiv b_1 \pmod{p_1}, q \equiv b_2 \pmod{p_2}, \dots, q \equiv b_k \pmod{p_k} \qquad \qquad \qquad  \cdots \qquad (2)</math>
由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math>都是素数，因此两两互素，根据[[孙子定理]]（中国剩余定理）知，对于给定的<math>b_{1}, b_{2}, \cdot , b_{k}</math>，（2）式有唯一一个小于<math>p_{1} p_{2} \cdots p_{k}</math>的正整数解。

==范例==
例如k=1时，<math>q=2m_{1}+1</math>，解得<math>q=3, 5</math>。由于<math>5<3^2-2</math>，所以可知<math>3</math>与<math>3+2</math>、<math>5</math>与<math>5+2</math>都是孪生素数。这样就求得了[[区间]]<math>(3, 3^2)</math>里的全部孪生素数对。
 
又比如k=2时，列出方程<math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，解得<math>q=5, 11, 17</math>。由于<math>17<5^2-2</math>，所以<math>11</math>与<math>11+2</math>、<math>17</math>与<math>17+2</math>都是了孪生素数。由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2}, \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(5, 5^2)</math>的全部孪生素数对。
{| class="wikitable"
|-
! k=3时 !! <math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+4</math>
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>= || 11,41 || 17 || 29
|}
由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2}, \cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(7, 7^2)</math>的全部孪生素数对。
{| class="wikitable"
|-
! k=4时 !! <math>7m_{4}+1</math> !! <math>7m_{4}+2</math> !! <math>7m_{4}+3</math> !! <math>7m_{4}+4</math> !! <math>7m_{4}+6</math>
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+1</math>= || 71 || 191 || 101 || 11 || 41
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+2</math>= || 197 || 107 || 17 || 137 || 167
|-
| <math>q=2m_{1}+1=3m_{2}+2=5m_{3}+4</math>= || 29 || 149 || 59 || 179 || 209
|}
　　 　由于这已经是所有可能的<math>b_{1}, b_{2} ,\cdot , b_{k}</math>值，所以这样就求得了区间<math>(11, 11^2)</math>的全部孪生素数对（8个小于121-2的解）。　　　 　　
仿此下去可以一个不漏地求得任意大的数以内的全部孪生素数对。对于所有可能的<math>b_{1}, b_{2} \cdot , b_{k}</math>值，(1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，有
（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-2</math>）(<math>p_{3}-2</math>)...（<math>p_{k}-2</math>）（3）
个解。
==结论推广==
孪生素数猜想就是在k值任意大时（1）和（2）式都有小于<math>p^{2}_{k+1}-2</math>的解。

[[Category:数学]]