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哥德巴赫猜想是加法数论中的一个分支，1900年德国数学家希尔伯特专门介绍了这个重要的问题
== 希尔伯特的讲话 ==
<pre>
8. Problems of prime numbers
8=3+5，

36=31+5，
</pre>

....。就是哥德巴赫猜想。

*[[哥德巴赫猜想]]：任一大於2的偶數，都可表示成兩個質數之和。
{{quote|
当所有[[整数]]<math>N+X</math>与<math>N-X </math>都是素数-哥德巴赫猜想.
}}因为偶数2N=(N+X)+(N-X).
就是哥德巴赫猜想。
=== 架构 ===
 若自然数n不能被不大于<math>\sqrt{n}</math>任何素数整除，则n是一个素数。  
     
    
   可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：  
    
   <math>n=p_{1}m_{1}+a_{1}=p_{2}m_{2}+a_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+a_{k}.</math>......(1)  
    
   其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>a</math>≠0。
 
   若<math>n<P^{2}_{k+1}</math>,则n是一个素数。  
    
   我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示  ：

   <math>n \equiv a_1 \pmod{p_1}, n \equiv a_2 \pmod{p_2}, \dots, n \equiv a_k \pmod{p_k}</math>.......（2）  
    
   由于（2）的模<math>p_{1}</math>,<math>p_{2}</math>,...,<math>p_{k}</math> 两两互素， 
   根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的<math>a_{1}</math>,<math>a_{2}</math>,...,<math>a_{k}</math>，（2）式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内有唯一解。  
    
 
===范例===
    
   k=1时，<math>n=2m_{1}+1</math>，解得n=3，5，7。求得了（3，3²）区间的全部素数。  
    
   k=2时，<math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+1</math>，解得n=7，13，19； <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+2</math>，

解得n=5，11，17，23。  
    
   求得了（5，5²）区间的全部素数。  
   {| class="wikitable"  
   |-  
   ! k=3时!!<math>5m_{3}+1</math> !! <math>5m_{3}+2</math> !! <math>5m_{3}+3</math> !! <math>5m_{3}+4</math>  
   |-  
   | <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+1=</math> || 31 || 7,37 || 13,43 || 19  
   |-  
   | <math>n=2m_{1}+1=3m_{2}+2=</math> || 11,41 || 17,47 || 23 || 29  
   |}  
   |}求得了（7,7²）区间的全部素数。  
    
   仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
   对于所有可能的<math>a_{1}, a_{2} \cdot , a_{k}</math>值，(1)和(2)式在<math>p_{1}</math><math>p_{2}</math>...<math>p_{k}</math>范围内，

有（<math>p_{1}-1</math>）（<math>p_{2}-1</math>）(<math>p_{3}-1</math>)...（<math>p_{k}-1</math>）
个解。

==（1）式（2）式与哥德巴赫猜想的合理框架== 

怎样使得两个自然数相加和相减都成为素数，即N+X成为素数，N-X也是素数。

根据除法算式定理：“给定正整数a和b，b≠0，存在唯一整数q和r（0≤r＜b），使a=bq+r”。

再根据同余定理：“每一整数恰与0,1,2,3，...，m-1中一数同余（mod m）”。

所以，任给一个自然数N(N>4)，都可以唯一表示成为：

<math>N=p_{1}m_{1}+e_{1}=p_{2}m_{2}+e_{2}=\dots=p_{k}m_{k}+e_{k}.</math>(3)

其中 <math>p_{1},p_{2},\dots,p_{k}</math>表示顺序素数2，3，5，....。<math>e_{i}=0,1,2,...,P_{i}-1</math>。

<math>\frac{p^{2}_{k}}{2}</math> < N < <math>\frac{p^{2}_{k+1}}{2}</math>

现在问，是否存在X,

<math>X=p_{1}h_{1}+f_{1}=p_{2}h_{2}+f_{2}=\dots=p_{k}h_{k}+f_{k}.</math>（4）

<math>f_{i}</math>≠<math>e_{i}</math>，

<math>f_{i}</math>≠<math>p_{i}-e_{i}</math>。

如果X<N-2，则N+X与N-X都是素数，因为它们符合（1）（2）式。

=== 範例 ===

設N=20，<math>20=2m_{1}+0=3m_{2}+2=5m_{3}+0</math>；

<math>\frac{5^{2}}{2}</math> < 20 < <math>\frac{7^{2}}{2}</math>


 <math>e_{1}=0</math>,<math>e_{2}=2</math>,<math>e_{3}=0</math>.
{| class="wikitable"
|-
! 构造x !! <math>5h_{3}+1</math> !! <math>5h_{3}+2</math> !!<math>5h_{3}+3</math>  !! <math>5h_{3}+4</math>
|-
| <math>X=2h_{1}+1=3h_{2}+0=</math>  ||   21 ||   27 ||   3 ||   9
|-
|
<math>f_{i}</math>≠<math>e_{i}</math>，<math>f_{i}</math>≠<math>p_{i}-e_{i}</math>
 || <math>f_{1}=1</math>，<math>f_{2}=0</math>，<math>f_{3}=1</math>.
 || <math>f_{1}=1</math>，<math>f_{2}=0</math>，<math>f_{3}=2</math>.
 || <math>f_{1}=1</math>，<math>f_{2}=0</math>，<math>f_{3}=3</math>.
 || <math>f_{1}=1</math>，<math>f_{2}=0</math>，<math>f_{3}=4</math>.

|}

四个解是：21，27，3，9。小于N-2的X有3和9，我们得知，20+3与20-3是一对素数；20+9与20-9是一对素数。
这就是利用素数判定法则：最小剩余不为零，并且<math>N+X<P^{2}_{k+1}</math>,则N+X与N-X是一对素数。

因为'''（N+X）+（N-X）=2N。这就是著名的哥德巴赫猜想猜想'''，
'''我们需要证明（4）式必然有小于N-2的解，尽管我们现在不能证明它'''。
埃拉托斯特尼筛法的普遍公式已经为哥德巴赫猜想提供了合理框架，并且把问题转入到初等数论范围。
顺便补充一句，（N+X）+（N-X）=2N是一种一维对称（群，伽逻华20岁死于决斗，他留下的思想“群”是将万物绑在一起的粘合剂，对称无所不在，例如镜面对称是二维对称。）
==以往证明都是错误的==
设a,b,c是所谓“殆素数”，即n个素数的乘积：

* 是否【1+1】包含在【1+c】或者【a+b】之内？ 如果回答：是！
* 证明程式是否可以从【1+c】或者【a+b】到达【1+1】？ 如果回答：是！
* 【1+1】是否可以必然从【1+c】或者【a+b】中剥离出来？ 如果回答：是！
*  如果最后证明了【1+1】不能成立，前面三条就是错误的。

分析一，就是说，前面三条是在假定【1+1】必须正确的情况下的“成果”，这个就荒唐了，我们还不知道最后是否正确，就假定了最后成果必然正确。

分析二，如果前面三条不能成立或者不能肯定必然成立，怎么可以算是“成果”呢？ 也就是说，从v布龙开始，到王元潘承洞陈景润等都是建立在非逻辑前提下的证明，因此证明无效。
==关于假定==
* 假定。只能用在否定结果的证明中，例如，欧几里得证明素数无穷多个。假定a成立，可以推出b，得到c，c与a矛盾，所以假定的a不能成立，得到非a。
* 假定不能用在肯定的结论。假定a，可以推出b，得到c，c=a，或者c包含a，所以假定的a成立。（这个就是预期理由的错误）
* 为什么“假定”只能用于否定的结论，而不能用于肯定的结论？

 一个对科学理论更强的逻辑制约因素是，它们是能够被证伪的。换一句话说，因为以后能够被观测作有意义的检验，理论一定有被证伪的可能性。这种证伪的判据是区分科学与伪科学的一种方法。原因在于证实的内在局限性，证实只能增加一个理论的可信度，却不能证明整个理论的完全正确。因为在未来的某一个时刻，总是会发现与理论有冲突的事例。

== 参见==
*[[孙子定理]]

== 外部链接 ==
[http://zh.wikibooks.org/zh-hans/%E7%B4%A0%E6%95%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F 素数公式]

[[Category:数学]]