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本研究的主题是'''拉普拉斯矢量场'''。

在[[:w:矢量微积分|矢量微积分]]中，'''拉普拉斯矢量场'''属于[[:w:矢量场|矢量场]]，既[[:w:保守向量场|保守向量场]]又[[:w:不可壓縮流|不可壓縮流]]。如果该矢量场表示为 '''v'''，则由以下[[:w:微分方程|微分方程]]描述：
:<math>\begin{align}
  \nabla \times \mathbf{v} &= \mathbf{0}, \\
   \nabla \cdot \mathbf{v} &= 0
\end{align}</math>

从[[:w:向量恆等式列表|向量恆等式列表]] <math>\nabla^2 \mathbf{v} \equiv \nabla (\nabla\cdot \mathbf{v}) - \nabla\times (\nabla\times \mathbf{v})</math> 它遵循
:<math>\nabla^2 \mathbf{v} = 0</math>

也就是说，'''v''' 满足了[[:w:拉普拉斯方程|拉普拉斯方程]]。

平面中的拉普拉斯矢量场满足[[:w:柯西－黎曼方程|柯西－黎曼方程]]：它是[[:w:全形 (數學)|全形 (數學)]]的。

由于 '''v''' 的[[:w:旋度|旋度]]为零，因此（当定义域简单连接时）'''v''' 可以表示为[[:w:标量势|标量势]]的[[:w:梯度|梯度]]（参见[[:w:保守向量场|保守向量场]]）''φ''： 
:<math> \mathbf{v} = \nabla \phi \qquad \qquad (1) </math>

然后，由于 '''v''' 的[[:w:散度|散度]]也为零，因此从等式（1）得出
:<math> \nabla \cdot \nabla \phi = 0 </math>

这相当于
:<math> \nabla^2 \phi = 0</math>

因此，拉普拉斯矢量场的势满足[[:w:拉普拉斯方程|拉普拉斯方程]]。

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