拉普拉斯矢量场

本研究的主题是拉普拉斯矢量场。

在矢量微积分中，拉普拉斯矢量场属于矢量场，既保守向量场又不可壓縮流。如果该矢量场表示为 v，则由以下微分方程描述：

$\begin{array}{cc}\mathrm{\nabla }\times 𝐯& =\mathrm{𝟎},\\ \mathrm{\nabla }\cdot 𝐯& =0\end{array}$

从向量恆等式列表 ${\mathrm{\nabla }}^2𝐯\equiv \mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐯)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐯)$ 它遵循

${\mathrm{\nabla }}^2𝐯=0$

也就是说，v 满足了拉普拉斯方程。

平面中的拉普拉斯矢量场满足柯西－黎曼方程：它是全形 (數學)的。

由于 v 的旋度为零，因此（当定义域简单连接时）v 可以表示为标量势的梯度（参见保守向量场）φ：

$𝐯=\mathrm{\nabla }\varphi (1)$

然后，由于 v 的散度也为零，因此从等式（1）得出

$\mathrm{\nabla }\cdot \mathrm{\nabla }\varphi =0$

这相当于

${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =0$

因此，拉普拉斯矢量场的势满足拉普拉斯方程。