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== 極限的概念 ==
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== 數列的極限 ==
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若數列 <math>A_n</math> 有上界L，且 <math>a_{n+1} > A_n</math> ，則數列<math> A_n</math> 的極限 <math>M \le L</math> ，意即若 <math>\lim_{n \rightarrow  \infty }A_n = M</math> ，則 M 的值不大於L
===数列有界性的定义===
若<math>\exists A\in R</math>使得数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}恒满足<math>x_{n}\ge A</math>，则称数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}有下界；若<math>\exists B\in R</math>使得数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}恒满足<math>x_{n}\le B</math>，则称数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}有上界；若<math>\exists A\in R</math>且<math>\exists B\in R</math>使得数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}恒满足<math>B\ge x_{n}\ge A</math>，则称数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}有界。

===数列极限的定义===
设{<math>\left. x_{n}\right.</math>}是一组数列，<math>y\in \mathbf{R}</math>为常数，且<math>\forall \varepsilon \in \mathbf{R^{+}}</math>，若<math>\exists K \in \mathbf{Z^{+}}</math>，当 <math>\left. n>K\right.</math> 时，下面不等式：</br>

:<math>\left| x_n - y\right|<\varepsilon</math>
恒成立，则称数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}的极限存在，并称常数<math>\left. y\right.</math>为数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}的极限，通常记作：</br>

:<math>\lim_{n\to \infty}x_n = y</math>
此时也称{<math>\left. x_{n}\right.</math>}是一个收敛的数列。

===性质===
====唯一性====
若数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}收敛，则{<math>\left. x_{n}\right.</math>}的极限值是唯一的。

证明：假设 <math>\lim_{n\to \infty}x_n = a</math> 且 <math>\lim_{n\to \infty}x_n = b\,(a<b)</math> ，则 <math>\exists K_1 \in \mathbf{Z^{+}}</math> 使得当 <math>\left. n>K_1\right.</math> 时 <math>\left| x_n - a\right|<{b-a\over 2}</math> ，且 <math>\exists K_2 \in \mathbf{Z^{+}}</math> 使得当 <math>\left. n>K_2 \right.</math> 时 <math>\left| x_n - b\right|<{b-a\over 2}</math> 。故当 <math>\left. n>\max\{K_1,\,K_2\}\right.</math> 时，有 <math>x_n<{a+b\over 2}</math> 且 <math>x_n>{a+b\over 2}</math> ，矛盾。故唯一性得证。

====有界性====
若数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}收敛，则{<math>\left. x_{n}\right.</math>}是有界数列。

证明：设 <math>\lim_{n\to \infty}x_n = a</math> ，则 <math>\exists K \in \mathbf{Z^{+}}</math> 使得当 <math>\left. n>K\right.</math> 时 <math>\left| x_n - a\right|<1</math> 。则对 <math>\forall n\in\mathbf{Z^{+}}</math> ，有 <math>|x_n|\leq\max\{|x_1|,\,...\,,\,|x_K|,\,|a|+1\}</math> 。故有界性得证。

====保序性====
若数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}与{<math>\left. y_{n}\right.</math>}都有极限。当<math>n\ge m</math>时恒有<math>x_n \ge y_n</math>，若<math>\lim_{n \to \infty}x_n=a</math>且<math>\lim_{n \to \infty}y_n=b</math>，则必有<math>a\ge b</math>。

证明：假设 <math>a<b</math> ，则 <math>\exists K_1 \in \mathbf{Z^{+}}</math> 使得当 <math>\left. n>K_1\right.</math> 时 <math>\left| x_n - a\right|<{b-a\over 2}</math> ，且 <math>\exists K_2 \in \mathbf{Z^{+}}</math> 使得当 <math>\left. n>K_2 \right.</math> 时 <math>\left|y_n - b\right|<{b-a\over 2}</math> 。故当 <math>\left. n>\max\{K_1,\,K_2\}\right.</math> 时，有 <math>x_n<{a+b\over 2}<y_n</math> ，与条件矛盾。故保序性得证。

===斯铎兹（[http://en.wikipedia.org/wiki/Otto_Stolz Otto-Stolz]）法则===
====法则一====
设<math>\lim_{n \to \infty}x_n=0</math>，<math>\lim_{n \to \infty}y_n=0</math>，且数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}单调递减。则当极限<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}</math>存在时，极限<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}</math>存在，且<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}=\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}</math>；当<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}-x_{n+1}}{y_{n}-y_{n+1}}\to +\infty</math>时，有<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}\to +\infty</math>。

====法则二====
设<math>\lim_{n \to \infty}y_n\to +\infty</math>，数列{<math>\left. y_{n}\right.</math>}单调递增，则当极限<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}</math>存在时，极限<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}</math>存在，且<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}</math>；当<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n+1}-x_{n}}{y_{n+1}-y_{n}}\to +\infty</math>时，有<math>\lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}}{y_{n}}\to +\infty</math>。

== 函數的極限 ==
一個函數<math>f(x)</math>，若當<math>x\rightarrow c</math>時，<math>f(x)\rightarrow L</math>，意即當<math>x</math>在<math>f(x)</math>上越來越趨近<math>c</math>時，<math>f(x)</math>的值越來越趨近<math>L</math>，一般記做<math>\lim_{x \rightarrow c}f(x) = L</math>

===函数极限的定义===
====自变量趋于常数的极限====
设函数<math>\left. f(x)\right.</math>在<math>a\in \mathbf{R}</math>的某个去心邻域<math>(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon)</math>内有定义。若<math>\forall \varepsilon \in \mathbf{R^+}</math>，总有<math>\exists \delta \in \mathbf{R^+}</math>，<math>A\in \mathbf{R}</math>使得当<math>\left. x\right.</math>满足<math>\left| x - a\right| <\delta</math>时，必有：

:<math>\left| f(x) - A\right| <\varepsilon</math>
则称函数<math>\left. f(x)\right.</math>趋于常数<math>\left. a\right.</math>的极限是<math>\left. A\right.</math>，通常记作：

:<math>\lim_{x\to a}f(x)=A</math>

====自变量趋于无穷的极限====
1. 对于函数<math>\left. f(x)\right.</math>，若<math>\forall \varepsilon \in \mathbf{R^+}</math>且<math>\exists A\in \mathbf{R}</math>，总<math>\exists X\in \mathbf{R^+}</math>，当<math>\left. x>X\right.</math>时必然满足：

:<math>\left| f(x) - A\right| <\varepsilon</math>
则称函数<math>\left. f(x)\right.</math>趋于正无穷大的极限是<math>\left. A\right.</math>，通常记作：

:<math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=A</math>
2. 对于函数<math>\left. f(x)\right.</math>，若<math>\forall \varepsilon \in \mathbf{R^+}</math>且<math>\exists A\in \mathbf{R}</math>，总<math>\exists X\in \mathbf{R^-}</math>，当<math>\left. x<X\right.</math>时必然满足：

:<math>\left| f(x) - A\right| <\varepsilon</math>
则称函数<math>\left. f(x)\right.</math>趋于负无穷大的极限是<math>\left. A\right.</math>，通常记作：

:<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=A</math>
3. 对于函数<math>\left. f(x)\right.</math>，若<math>\forall \varepsilon \in \mathbf{R^+}</math>且<math>\exists A\in \mathbf{R}</math>，总<math>\exists X\in \mathbf{R}</math>，当<math> x>\left| X\right|</math>时必然满足：

:<math>\left| f(x) - A\right| <\varepsilon</math>
则称函数<math>\left. f(x)\right.</math>趋于无穷大的极限是<math>\left. A\right.</math>，通常记作：

:<math>\lim_{x\to \infty}f(x)=A</math>

===性质===

====唯一性====
若函数<math>\left. f(x)\right.</math>存在极限，则极限值唯一。

====局部保序性====
1. 设<math>\lim_{x\to x_{0}}f(x)=a</math>，<math>\lim_{x\to x_{0}}g(x)=b</math>，若<math>\exists \delta \in \mathbf{R^+}</math>，当<math>\left| x - x_{0}\right| <\delta</math>时，都有<math>f(x)\le g(x)</math>，则<math>\left. a\le b\right.</math>。 </br>

2. 设<math>\lim_{x\to +\infty}f(x)=a</math>，<math>\lim_{x\to +\infty}g(x)=b</math>，若<math>\exists X \in \mathbf{R^+}</math>，当<math>\left. x>X\right.</math>时，都有<math>f(x)\le g(x)</math>，则<math>\left. a\le b\right.</math>。 </br>

3. 设<math>\lim_{x\to -\infty}f(x)=a</math>，<math>\lim_{x\to -\infty}g(x)=b</math>，若<math>\exists X \in \mathbf{R^-}</math>，当<math>\left. x<X\right.</math>时，  都有<math>f(x)\le g(x)</math>，则<math>\left. a\le b\right.</math>。 </br>

====保号性（也称正负不变性）====
若<math>\lim_{x\to a}f(x)=A</math>且<math>\left. A\not= 0\right.</math>，则在<math>a\in \mathbf{R}</math>的某个去心邻域<math>(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon)</math>内存在一个区间<math>\left. U_{o}\right.</math>满足当<math>x\in U_{o}</math>时，<math>\left. f(x)\right.</math>的值的正负性与<math>\left. A\right.</math>保持一致。

====海涅（[http://en.wikipedia.org/wiki/Heine%E2%80%93Cantor_theorem Heine–Cantor]）定理====
设函数<math>\left. f(x)\right.</math>在<math>a\in \mathbf{R}</math>的某个去心邻域<math>(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon)</math>内有定义，则：

:<math>\lim_{x\to a}f(x)=A \Leftrightarrow \lim_{n\to \infty}f(w_n)=A</math>
其中数列{<math>\left. w_{n}\right.</math>}是<math>a\in \mathbf{R}</math>的某个去心邻域<math>(-\epsilon ,a)\cup (a,\epsilon)</math>内任意一个收敛于<math>\left. a\right.</math>的数列，且<math>w_{n}\not= a</math>。

===洛必达法则 ([http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule l'Hôpital's rule])===
若函数 <math>\left. f(x)\right.</math> 与 <math>\left. g(x)\right.</math> 在 <math>a</math> 的一个去心邻域内可导且 <math>g'(x)\not= 0</math>，<math>\lim_{x\to a}f(x)</math> 与 <math>\lim_{x\to a}f(x)</math> 的值同时等于0或同时趋于无穷，并且 <math>\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}</math> 存在或趋于无穷，则：

:<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}</math>

==几个常用的极限==
1. 设函数<math>f(x)=\frac{\sin (x)}{x}</math>其中<math>x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty)</math>，则有<math>\lim_{x\to 0}f(x)=1</math>。</br>

2. 设数列{<math>\left. x_{n}\right.</math>}恒满足<math>x_{n}=(1+\frac{1}{n})^{n}</math>，则有<math>\lim_{n\to \infty}x_{n}=e</math>，其中<math>\left. e\right.</math>是自然对数的底数，<math>e\approx 2.712818\cdots</math>。</br>

3. 设函数<math>f(x)=(1+\frac{1}{x})^{x}</math>其中<math>x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty)</math>，则有<math>\lim_{x\to \infty}f(x)=e</math>。</br>

4. 设函数<math>f(x)=(1-\frac{1}{x})^{x}</math>其中<math>x\in (-\infty ,0)\cup (0,+\infty)</math>，则有<math>\lim_{x\to \infty}f(x)=\frac{1}{e}</math>。

==无穷的阶==

===无穷大与无穷小的概念===
1. 无穷小：通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。</br>
2. 无穷大：若函数<math>\left. f(x)\right.</math>在<math>x\to x_0</math>（或<math>x\to \infty</math>）时，<math>\left| f(x)\right|</math>的值无穷增大，则称函数<math>\left. f(x)\right.</math>在<math>x\to x_0</math>（或<math>x\to \infty</math>）时为无穷大。通常记作：

:<math>\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty</math>（或者<math>\lim_{x\to \infty}f(x)=\infty</math>）。

===高阶、低阶与同阶===
为了方便下面的讨论，现在将<math>\lim_{x\to \infty}</math>与<math>\lim_{x\to c}</math>（其中<math>c\in \mathbf{R}</math>），用符号<math>\lim_{}</math>来统一表示。

====无穷小的高阶、低阶与同阶====
1.高阶无穷小：若<math>\lim_{}f(x)=0</math>且<math>\lim_{}g(x)=0</math>（<math>\left. g(x)\right.</math>在极限附近处满足<math>\left. g(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的高阶无穷小。通常记作：

:<math>\left. f(x)=o(g(x))\right.</math>（<math>x\to x_0</math>或者<math>x\to \infty</math>）</br>

2.低阶无穷小：若<math>\lim_{}f(x)=0</math>且<math>\lim_{}g(x)=0</math>（<math>\left. f(x)\right.</math>在极限附近处满足<math>\left. f(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{g(x)}{f(x)}=0</math>时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的低阶无穷小。

3.同阶无穷小：若<math>\lim_{}f(x)=0</math>且<math>\lim_{}g(x)=0</math>（<math>\left. g(x)\right.</math>在极限附近处满足<math>\left. g(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{f(x)}{g(x)}=c</math>（其中<math>c\in \mathbf{R}</math>）时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的同阶无穷小。

4.阶数：若<math>\lim_{}f(x)=0</math>且<math>\lim_{}g(x)=0</math>（<math>\left. g(x)\right.</math>在极限附近处满足<math>\left. g(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{f(x)}{g^{m}(x)}=c</math>（其中<math>c,m\in \mathbf{R}</math>）时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的<math>\left. m\right.</math>阶无穷小，<math>\left. m\right.</math>是无穷小的阶数。

====无穷大的高阶、低阶与同阶====
1.高阶无穷大：若<math>\lim_{}f(x)=\infty</math>且<math>\lim_{}g(x)=\infty</math>（<math>\left. f(x)\right.</math>在极限附近处必须满足<math>\left. f(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{g(x)}{f(x)}=0</math>时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的高阶无穷大。

2.低阶无穷大：若<math>\lim_{}f(x)=\infty</math>且<math>\lim_{}g(x)=\infty</math>（<math>\left. f(x)\right.</math>在极限附近处必须满足<math>\left. f(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{f(x)}{g(x)}=0</math>时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的低阶无穷大。

3.同阶无穷大：若<math>\lim_{}f(x)=\infty</math>且<math>\lim_{}g(x)=\infty</math>（<math>\left. g(x)\right.</math>在极限附近处必须满足<math>\left. g(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{f(x)}{g(x)}=c</math>（其中<math>c\in \mathbf{R}</math>）时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的同阶无穷大。

4.阶数：若<math>\lim_{}f(x)=\infty</math>且<math>\lim_{}g(x)=\infty</math>（<math>\left. g(x)\right.</math>在极限附近处必须满足<math>\left. g(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{f(x)}{g^{m}(x)}=c</math>（其中<math>c,m\in \mathbf{R}</math>）时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的<math>\left. m\right.</math>阶无穷大，<math>\left. m\right.</math>是无穷大的阶数。

===等价无穷===
====等价无穷大====
若<math>\lim_{}f(x)=\infty</math>且<math>\lim_{}g(x)=\infty</math>（<math>\left. f(x)\right.</math>在极限附近处必须满足<math>\left. f(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{g(x)}{f(x)}=1</math>时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的等价无穷大。

====等价无穷小====
若<math>\lim_{}f(x)=0</math>且<math>\lim_{}g(x)=0</math>（<math>\left. g(x)\right.</math>在极限附近处必须满足<math>\left. g(x)\not= 0\right.</math>），当<math>\lim_{}\frac{f(x)}{g(x)}=1</math>时，称<math>\left. f(x)\right.</math>是<math>\left. g(x)\right.</math>的等价无穷小。

== 極限與連續 ==
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參見[[函數的連續性]]



== 習題 ==
#设数列<math>a_n</math>等于<math>(-1)^{n}+1</math>，问此数列的极限是否存在？
#求以下数列的极限，（下式中<math>n</math>是正整数）
:<math>\lim_{n\to \infty}\frac{\log_{a}n}{n}=</math>? 

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