極限

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數列的極限

若數列 $A_n$ 有上界L，且 $a_{n+1}>A_n$ ，則數列$A_n$ 的極限 $M\le L$ ，意即若 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=M$ ，則 M 的值不大於L

数列有界性的定义

若$\mathrm{\exists }A\in R$使得数列{$x_n$}恒满足$x_n\ge A$，则称数列{$x_n$}有下界；若$\mathrm{\exists }B\in R$使得数列{$x_n$}恒满足$x_n\le B$，则称数列{$x_n$}有上界；若$\mathrm{\exists }A\in R$且$\mathrm{\exists }B\in R$使得数列{$x_n$}恒满足$B\ge x_n\ge A$，则称数列{$x_n$}有界。

数列极限的定义

设{$x_n$}是一组数列，$y\in 𝐑$为常数，且$\mathrm{\forall }\epsilon \in {𝐑}^{\mathbf{+}}$，若$\mathrm{\exists }K\in {𝐙}^{\mathbf{+}}$，当 $n>K$ 时，下面不等式：

$|x_n-y|<\epsilon$

恒成立，则称数列{$x_n$}的极限存在，并称常数$y$为数列{$x_n$}的极限，通常记作：

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=y$

此时也称{$x_n$}是一个收敛的数列。

性质

唯一性

若数列{$x_n$}收敛，则{$x_n$}的极限值是唯一的。

证明：假设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ 且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=b(a<b)$ ，则 $\mathrm{\exists }{K}_1\in {𝐙}^{\mathbf{+}}$ 使得当 $n>K_1$ 时 $|x_n-a|<\frac{b-a}{2}$ ，且 $\mathrm{\exists }{K}_2\in {𝐙}^{\mathbf{+}}$ 使得当 $n>K_2$ 时 $|x_n-b|<\frac{b-a}{2}$ 。故当 $n>\max \{K_1,K_2\}$ 时，有 $x_n<\frac{a+b}{2}$ 且 $x_n>\frac{a+b}{2}$ ，矛盾。故唯一性得证。

有界性

若数列{$x_n$}收敛，则{$x_n$}是有界数列。

证明：设 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$ ，则 $\mathrm{\exists }K\in {𝐙}^{\mathbf{+}}$ 使得当 $n>K$ 时 $|x_n-a|<1$ 。则对 $\mathrm{\forall }n\in {𝐙}^{\mathbf{+}}$ ，有 $|x_n|\le \max \{|x_1|,...,|x_K|,|a|+1\}$ 。故有界性得证。

保序性

若数列{$x_n$}与{$y_n$}都有极限。当$n\ge m$时恒有$x_n\ge y_n$，若$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=a$且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=b$，则必有$a\ge b$。

证明：假设 $a<b$ ，则 $\mathrm{\exists }{K}_1\in {𝐙}^{\mathbf{+}}$ 使得当 $n>K_1$ 时 $|x_n-a|<\frac{b-a}{2}$ ，且 $\mathrm{\exists }{K}_2\in {𝐙}^{\mathbf{+}}$ 使得当 $n>K_2$ 时 $|y_n-b|<\frac{b-a}{2}$ 。故当 $n>\max \{K_1,K_2\}$ 时，有 $x_n<\frac{a+b}{2}<y_n$ ，与条件矛盾。故保序性得证。

斯铎兹（Otto-Stolz）法则

法则一

设$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=0$，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n=0$，且数列{$x_n$}单调递减。则当极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n-x_{n+1}}{y_n-y_{n+1}}$存在时，极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}$存在，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n-x_{n+1}}{y_n-y_{n+1}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}$；当$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n-x_{n+1}}{y_n-y_{n+1}}\to +\mathrm{\infty }$时，有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}\to +\mathrm{\infty }$。

法则二

设$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_n\to +\mathrm{\infty }$，数列{$y_n$}单调递增，则当极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$存在时，极限$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}$存在，且$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}$；当$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}\to +\mathrm{\infty }$时，有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x_n}{y_n}\to +\mathrm{\infty }$。

函數的極限

一個函數$f(x)$，若當$x\to c$時，$f(x)\to L$，意即當$x$在$f(x)$上越來越趨近$c$時，$f(x)$的值越來越趨近$L$，一般記做$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

函数极限的定义

自变量趋于常数的极限

设函数$f(x)$在$a\in 𝐑$的某个去心邻域$(-ϵ,a)\cup (a,ϵ)$内有定义。若$\mathrm{\forall }\epsilon \in {𝐑}^{\mathbf{+}}$，总有$\mathrm{\exists }\delta \in {𝐑}^{\mathbf{+}}$，$A\in 𝐑$使得当$x$满足$|x-a|<\delta$时，必有：

$|f(x)-A|<\epsilon$

则称函数$f(x)$趋于常数$a$的极限是$A$，通常记作：

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$

自变量趋于无穷的极限

1. 对于函数$f(x)$，若$\mathrm{\forall }\epsilon \in {𝐑}^{\mathbf{+}}$且$\mathrm{\exists }A\in 𝐑$，总$\mathrm{\exists }X\in {𝐑}^{\mathbf{+}}$，当$x>X$时必然满足：

$|f(x)-A|<\epsilon$

则称函数$f(x)$趋于正无穷大的极限是$A$，通常记作：

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A$

2. 对于函数$f(x)$，若$\mathrm{\forall }\epsilon \in {𝐑}^{\mathbf{+}}$且$\mathrm{\exists }A\in 𝐑$，总$\mathrm{\exists }X\in {𝐑}^{\mathbf{-}}$，当$x<X$时必然满足：

$|f(x)-A|<\epsilon$

则称函数$f(x)$趋于负无穷大的极限是$A$，通常记作：

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A$

3. 对于函数$f(x)$，若$\mathrm{\forall }\epsilon \in {𝐑}^{\mathbf{+}}$且$\mathrm{\exists }A\in 𝐑$，总$\mathrm{\exists }X\in 𝐑$，当$x>\left|X\right|$时必然满足：

$|f(x)-A|<\epsilon$

则称函数$f(x)$趋于无穷大的极限是$A$，通常记作：

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A$

性质

唯一性

若函数$f(x)$存在极限，则极限值唯一。

局部保序性

1. 设$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=a$，$\underset{x\to x_0}{\lim }g(x)=b$，若$\mathrm{\exists }\delta \in {𝐑}^{\mathbf{+}}$，当$|x-x_0|<\delta$时，都有$f(x)\le g(x)$，则$a\le b$。

2. 设$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a$，$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=b$，若$\mathrm{\exists }X\in {𝐑}^{\mathbf{+}}$，当$x>X$时，都有$f(x)\le g(x)$，则$a\le b$。

3. 设$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=a$，$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }g(x)=b$，若$\mathrm{\exists }X\in {𝐑}^{\mathbf{-}}$，当$x<X$时， 都有$f(x)\le g(x)$，则$a\le b$。

保号性（也称正负不变性）

若$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$且$A=0$，则在$a\in 𝐑$的某个去心邻域$(-ϵ,a)\cup (a,ϵ)$内存在一个区间$U_o$满足当$x\in U_o$时，$f(x)$的值的正负性与$A$保持一致。

海涅（Heine–Cantor）定理

设函数$f(x)$在$a\in 𝐑$的某个去心邻域$(-ϵ,a)\cup (a,ϵ)$内有定义，则：

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(w_n)=A$

其中数列{$w_n$}是$a\in 𝐑$的某个去心邻域$(-ϵ,a)\cup (a,ϵ)$内任意一个收敛于$a$的数列，且$w_n=a$。

洛必达法则 (l'Hôpital's rule)

若函数 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $a$ 的一个去心邻域内可导且 $g^{\prime }(x)=0$，$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ 与 $\underset{x\to a}{\lim }f(x)$ 的值同时等于0或同时趋于无穷，并且 $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ 存在或趋于无穷，则：

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

几个常用的极限

1. 设函数$f(x)=\frac{\sin (x)}{x}$其中$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$，则有$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=1$。

2. 设数列{$x_n$}恒满足$x_n=(1+\frac{1}{n}{)}^n$，则有$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=e$，其中$e$是自然对数的底数，$e\approx 2.712818\cdots$。

3. 设函数$f(x)=(1+\frac{1}{x}{)}^x$其中$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$，则有$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=e$。

4. 设函数$f(x)=(1-\frac{1}{x}{)}^x$其中$x\in (-\mathrm{\infty },0)\cup (0,+\mathrm{\infty })$，则有$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\frac{1}{e}$。

无穷的阶

无穷大与无穷小的概念

1. 无穷小：通常称以0为极限的变量或函数为无穷小。
2. 无穷大：若函数$f(x)$在$x\to x_0$（或$x\to \mathrm{\infty }$）时，$|f(x)|$的值无穷增大，则称函数$f(x)$在$x\to x_0$（或$x\to \mathrm{\infty }$）时为无穷大。通常记作：

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$（或者$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$）。

高阶、低阶与同阶

为了方便下面的讨论，现在将$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }$与$\underset{x\to c}{\lim }$（其中$c\in 𝐑$），用符号$\underset{}{\lim }$来统一表示。

无穷小的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷小：若$\underset{}{\lim }f(x)=0$且$\underset{}{\lim }g(x)=0$（$g(x)$在极限附近处满足$g(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$时，称$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷小。通常记作：

$f(x)=o(g(x))$（$x\to x_0$或者$x\to \mathrm{\infty }$）

2.低阶无穷小：若$\underset{}{\lim }f(x)=0$且$\underset{}{\lim }g(x)=0$（$f(x)$在极限附近处满足$f(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{g(x)}{f(x)}=0$时，称$f(x)$是$g(x)$的低阶无穷小。

3.同阶无穷小：若$\underset{}{\lim }f(x)=0$且$\underset{}{\lim }g(x)=0$（$g(x)$在极限附近处满足$g(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$（其中$c\in 𝐑$）时，称$f(x)$是$g(x)$的同阶无穷小。

4.阶数：若$\underset{}{\lim }f(x)=0$且$\underset{}{\lim }g(x)=0$（$g(x)$在极限附近处满足$g(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{f(x)}{g^m(x)}=c$（其中$c,m\in 𝐑$）时，称$f(x)$是$g(x)$的$m$阶无穷小，$m$是无穷小的阶数。

无穷大的高阶、低阶与同阶

1.高阶无穷大：若$\underset{}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$且$\underset{}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$（$f(x)$在极限附近处必须满足$f(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{g(x)}{f(x)}=0$时，称$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷大。

2.低阶无穷大：若$\underset{}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$且$\underset{}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$（$f(x)$在极限附近处必须满足$f(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=0$时，称$f(x)$是$g(x)$的低阶无穷大。

3.同阶无穷大：若$\underset{}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$且$\underset{}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$（$g(x)$在极限附近处必须满足$g(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=c$（其中$c\in 𝐑$）时，称$f(x)$是$g(x)$的同阶无穷大。

4.阶数：若$\underset{}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$且$\underset{}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$（$g(x)$在极限附近处必须满足$g(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{f(x)}{g^m(x)}=c$（其中$c,m\in 𝐑$）时，称$f(x)$是$g(x)$的$m$阶无穷大，$m$是无穷大的阶数。

等价无穷

等价无穷大

若$\underset{}{\lim }f(x)=\mathrm{\infty }$且$\underset{}{\lim }g(x)=\mathrm{\infty }$（$f(x)$在极限附近处必须满足$f(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{g(x)}{f(x)}=1$时，称$f(x)$是$g(x)$的等价无穷大。

等价无穷小

若$\underset{}{\lim }f(x)=0$且$\underset{}{\lim }g(x)=0$（$g(x)$在极限附近处必须满足$g(x)=0$），当$\underset{}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$时，称$f(x)$是$g(x)$的等价无穷小。

極限與連續

參見函數的連續性

習題

1. 设数列$a_n$等于$(-1{)}^n+1$，问此数列的极限是否存在？
2. 求以下数列的极限，（下式中$n$是正整数）

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{{\log }_{a}n}{n}=$?