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==一==
已知：<math>2 \nmid n,n\ge 3,p\ne 0,q\ne 0</math>

已知：<math>x^n+px^{n-2}+q=0</math>之解為 <math>x_1,x_2,x_3\dots x_n</math>

*則壹定滿足李煌關系：<math>x_1^{n-2}+x_2^{n-2}+x_3^{n-2}+\dots+x_n^{n-2}=0</math>(可由牛頓發現之定理推出,故算李煌重復發現，並由李煌證明)

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2)}^{n-2}+{(x_1x_3)}^{n-2}+\dots+{(x_{n-1}x_n)}^{n-2}=p^{n-2}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，但可由牛頓之定理和一個非常難想到的恆等式<math>\frac{(a^n+b^n+c^n)^2-(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n})}{2}=(ab)^n+(ac)^n+(bc)^n</math>推出，雖然本人(李煌)並不是這樣證明的和發現的，故也算重複發現了，深感淒涼和人生之慘淡)

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2x_3)}^{n-2}+{(x_1x_2x_4)}^{n-2}+\dots+{(x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-2}={(2-n)}p^{n-3}q</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2x_3x_4)}^{n-2}+{(x_1x_2x_3x_5)}^{n-2}+\dots+{(x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-2}=\frac{{(n-2)(n-3)}p^{n-4}q^2}{2}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2x_3x_4x_5)}^{n-2}+{(x_1x_2x_3x_4x_6)}^{n-2}+\dots+{(x_{n-4}x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-2}=\frac{{(2-n)(n-3)(n-4)}p^{n-5}q^3}{6}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)
'''更為一般之李煌關係通項如下(<math>k\ge 2,k\le n,k \in \mathbb{Z}</math>)'''
*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2\dots x_{k})}^{n-2}+{(x_1x_2\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n-2}+\dots+{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})}^{n-2}=(-1)^k\binom {n-2}{k-2} p^{n-k}q^{k-2}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

==二==
已知：<math>n\in \mathbb{Z},n\ge 2</math>

已知：<math>x^n+px+q=0</math>之解為 <math>x_1,x_2,x_3\dots x_n</math>

*則壹定滿足李煌關系：<math>x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1}+\dots+x_n^{n-1}=(1-n)p</math>

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2)}^{n-1}+{(x_1x_3)}^{n-1}+\dots+{(x_{n-1}x_n)}^{n-1}=p^{2}\frac{(n-1)(n-2)}{2}</math>

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2x_3)}^{n-1}+{(x_1x_2x_4)}^{n-1}+\dots+{(x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=p^{3}\frac{(1-n)(n-2)(n-3)}{6}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2x_3x_4)}^{n-1}+{(x_1x_2x_3x_5)}^{n-1}+\dots+{(x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=p^{4}\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2x_3x_4x_5)}^{n-1}+{(x_1x_2x_3x_4x_6)}^{n-1}+\dots+{(x_{n-4}x_{n-3}x_{n-2}x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=p^{5}\frac{(1-n)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{120}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)
'''更為一般之李煌關係通項如下(<math>k\ge 1,k\le n-1,k \in \mathbb{Z}</math>)'''
*則壹定滿足李煌關系：<math>{(x_1x_2\dots x_{k})}^{n-1}+{(x_1x_2\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n-1}+\dots+{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})}^{n-1}=(-1)^k\binom {n-1}{k} p^{k}</math>(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

===推論一===
*'''李煌-二项式系数定理'''

已知：<math>n\in \mathbb{Z},n\ge 2</math>

已知：<math>x^{n}-x+q=0</math>之解為 <math>x_1,x_2,x_3\dots x_n</math>

已知：<math>k\ge 1,k\le n-1,k \in \mathbb{Z}</math>

結論:

則存在二項式係數'''李煌計算形式'''

<math>\binom {n-1}{k}={(x_1x_2\dots x_{k})}^{n-1}+{(x_1x_2\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n-1}+\dots+{(x_{n-k+1}x_{n-k+2}\dots x_{n-1}x_{n})}^{n-1}</math>

===推論二===
*'''李煌-二项式系数定理'''

已知：<math>n\in \mathbb{Z},n\ge 1</math>

已知：<math>x^{n+1}-x+q=0</math>之解為 <math>x_1,x_2,x_3\dots x_n,x_{n+1}</math>

已知：<math>k\ge 1,k\le n,k \in \mathbb{Z}</math>;

結論:則存在二項式係數'''李煌計算形式'''

<math> \binom {n}{k}={(x_1x_2\dots x_{k})}^{n}+{(x_1x_2\dots x_{k-1}x_{k+1})}^{n}+\dots+{(x_{n-k+2}x_{n-k+3}\dots x_{n}x_{n+1})}^{n}</math>

例如：n=2,k=2；<math>x^{3}-x+q=0</math>之解為 <math>x_1,x_2,x_3</math>;則存在二項式係數'''李煌計算形式'''
<math>{(x_1x_2)}^{2}+{(x_1x_3)}^{2}+{(x_{2}x_{3})}^{2}=\binom {2}{2}=1</math>

例如：n=5,k=2；<math>x^{6}-x+q=0</math>之解為 <math>x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6</math>;則存在二項式係數'''李煌計算形式'''
:<math>
(x_1x_2)^5+(x_1x_3)^5+(x_1x_4)^5+(x_1x_5)^5+(x_1x_6)^5+(x_2x_3)^5+(x_2x_4)^5+(x_2x_5)^5+
</math>
:<math>
(x_2x_6)^5+(x_3x_4)^5+(x_3x_5)^5+(x_3x_6)^5+(x_4x_5)^5+(x_4x_6)^5+(x_5x_6)^5=\binom {5}{2}=10
</math>

例如：n=4,k=3；<math>x^{5}-x+q=0</math>之解為 <math>x_1,x_2,x_3,x_4,x_5</math>
則存在二項式係數'''李煌計算形式'''
:<math>
(x_1x_2x_3)^4+(x_1x_2x_4)^4+(x_1x_2x_5)^4+(x_1x_3x_4)^4+(x_1x_3x_5)^4+(x_1x_4x_5)^4+
</math>
:<math>(x_2x_3x_4)^4+(x_2x_3x_5)^4+(x_2x_4x_5)^4+(x_3x_4x_5)^4=\binom {4}{3}=4
</math>

== 來源 ==
* 《南昌理工學院學報》.李煌

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