School:李煌數學研究院/和與積之研究

一

已知：$2\nmid n,n\ge 3,p\ne 0,q\ne 0$

已知：$x^n+p{x}^{n-2}+q=0$之解為 $x_1,x_2,x_3\dots x_n$

• 則壹定滿足李煌關系：$x_1^{n-2}+x_2^{n-2}+x_3^{n-2}+\dots +x_n^{n-2}=0$(可由牛頓發現之定理推出,故算李煌重復發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2)}^{n-2}+{(x_1{x}_3)}^{n-2}+\dots +{(x_{n-1}{x}_n)}^{n-2}=p^{n-2}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，但可由牛頓之定理和一個非常難想到的恆等式$\frac{(a^n+b^n+c^n{)}^2-(a^{2n}+b^{2n}+c^{2n})}{2}=(ab{)}^n+(ac{)}^n+(bc{)}^n$推出，雖然本人(李煌)並不是這樣證明的和發現的，故也算重複發現了，深感淒涼和人生之慘淡)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2{x}_3)}^{n-2}+{(x_1{x}_2{x}_4)}^{n-2}+\dots +{(x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n)}^{n-2}=(2-n)p^{n-3}q$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2{x}_3{x}_4)}^{n-2}+{(x_1{x}_2{x}_3{x}_5)}^{n-2}+\dots +{(x_{n-3}{x}_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n)}^{n-2}=\frac{(n-2)(n-3)p^{n-4}{q}^2}{2}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5)}^{n-2}+{(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_6)}^{n-2}+\dots +{(x_{n-4}{x}_{n-3}{x}_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n)}^{n-2}=\frac{(2-n)(n-3)(n-4)p^{n-5}{q}^3}{6}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

更為一般之李煌關係通項如下($k\ge 2,k\le n,k\in \mathbb{Z}$)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2\dots x_k)}^{n-2}+{(x_1{x}_2\dots x_{k-1}{x}_{k+1})}^{n-2}+\dots +{(x_{n-k+1}{x}_{n-k+2}\dots x_{n-1}{x}_n)}^{n-2}=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-2}{k-2})p^{n-k}{q}^{k-2}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

二

已知：$n\in \mathbb{Z},n\ge 2$

已知：$x^n+px+q=0$之解為 $x_1,x_2,x_3\dots x_n$

• 則壹定滿足李煌關系：$x_1^{n-1}+x_2^{n-1}+x_3^{n-1}+\dots +x_n^{n-1}=(1-n)p$

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2)}^{n-1}+{(x_1{x}_3)}^{n-1}+\dots +{(x_{n-1}{x}_n)}^{n-1}=p^2\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2{x}_3)}^{n-1}+{(x_1{x}_2{x}_4)}^{n-1}+\dots +{(x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n)}^{n-1}=p^3\frac{(1-n)(n-2)(n-3)}{6}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2{x}_3{x}_4)}^{n-1}+{(x_1{x}_2{x}_3{x}_5)}^{n-1}+\dots +{(x_{n-3}{x}_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n)}^{n-1}=p^4\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5)}^{n-1}+{(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_6)}^{n-1}+\dots +{(x_{n-4}{x}_{n-3}{x}_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n)}^{n-1}=p^5\frac{(1-n)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{120}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

更為一般之李煌關係通項如下($k\ge 1,k\le n-1,k\in \mathbb{Z}$)

• 則壹定滿足李煌關系：${(x_1{x}_2\dots x_k)}^{n-1}+{(x_1{x}_2\dots x_{k-1}{x}_{k+1})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-k+1}{x}_{n-k+2}\dots x_{n-1}{x}_n)}^{n-1}=(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})p^k$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

推論一

• 李煌-二项式系数定理

已知：$n\in \mathbb{Z},n\ge 2$

已知：$x^n-x+q=0$之解為 $x_1,x_2,x_3\dots x_n$

已知：$k\ge 1,k\le n-1,k\in \mathbb{Z}$

結論:

則存在二項式係數李煌計算形式

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})={(x_1{x}_2\dots x_k)}^{n-1}+{(x_1{x}_2\dots x_{k-1}{x}_{k+1})}^{n-1}+\dots +{(x_{n-k+1}{x}_{n-k+2}\dots x_{n-1}{x}_n)}^{n-1}$

推論二

• 李煌-二项式系数定理

已知：$n\in \mathbb{Z},n\ge 1$

已知：$x^{n+1}-x+q=0$之解為 $x_1,x_2,x_3\dots x_n,x_{n+1}$

已知：$k\ge 1,k\le n,k\in \mathbb{Z}$;

結論:則存在二項式係數李煌計算形式

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})={(x_1{x}_2\dots x_k)}^n+{(x_1{x}_2\dots x_{k-1}{x}_{k+1})}^n+\dots +{(x_{n-k+2}{x}_{n-k+3}\dots x_n{x}_{n+1})}^n$

例如：n=2,k=2；$x^3-x+q=0$之解為 $x_1,x_2,x_3$;則存在二項式係數李煌計算形式 ${(x_1{x}_2)}^2+{(x_1{x}_3)}^2+{(x_2{x}_3)}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{2})=1$

例如：n=5,k=2；$x^6-x+q=0$之解為 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6$;則存在二項式係數李煌計算形式

$(x_1{x}_2{)}^5+(x_1{x}_3{)}^5+(x_1{x}_4{)}^5+(x_1{x}_5{)}^5+(x_1{x}_6{)}^5+(x_2{x}_3{)}^5+(x_2{x}_4{)}^5+(x_2{x}_5{)}^5+$

$(x_2{x}_6{)}^5+(x_3{x}_4{)}^5+(x_3{x}_5{)}^5+(x_3{x}_6{)}^5+(x_4{x}_5{)}^5+(x_4{x}_6{)}^5+(x_5{x}_6{)}^5=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=10$

例如：n=4,k=3；$x^5-x+q=0$之解為 $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ 則存在二項式係數李煌計算形式

$(x_1{x}_2{x}_3{)}^4+(x_1{x}_2{x}_4{)}^4+(x_1{x}_2{x}_5{)}^4+(x_1{x}_3{x}_4{)}^4+(x_1{x}_3{x}_5{)}^4+(x_1{x}_4{x}_5{)}^4+$

$(x_2{x}_3{x}_4{)}^4+(x_2{x}_3{x}_5{)}^4+(x_2{x}_4{x}_5{)}^4+(x_3{x}_4{x}_5{)}^4=(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3})=4$

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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