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== 一 ==
*不定方程<math>y^2=x^3+k</math>之'''李煌解''':
<math>{\begin{cases}x=2a^2+2\sqrt{a^4-a\sqrt{k}}\\y={ax}+\frac{x^2}{4a}\\a=\frac{y+\sqrt{k}}{2x}\end{cases}}</math>
或
<math>{\begin{cases}x=2a^2-2\sqrt{a^4-a\sqrt{k}}\\y={ax}+\frac{x^2}{4a}\\a=\frac{y+\sqrt{k}}{2x}\end{cases}}</math>

推論：

== 二 ==
存在無限多 無理數a, 使得<math>x=2a^2-2\sqrt{a^4-a\sqrt{3}}</math>之x為有理數

例如： <math>x=1,a=\frac{2+\sqrt{3}}{2}</math>

例如： <math>x=2,a=\frac{\sqrt{11}+\sqrt{3}}{4}</math>

存在無限多 無理數a, 使得<math>x=2a^2+2\sqrt{a^4-a\sqrt{3}}</math>之x為有理數

例如： <math>x=3,a=\frac{\sqrt{30}+\sqrt{3}}{6}</math>

例如： <math>x=4,a=\frac{\sqrt{67}+\sqrt{3}}{6}</math>

== 三 ==

'''李煌橢圓曲線'''：<math>y^2=x^3+x^2-x-1</math>

存在 <math>y=(4a)(2a^2+1),\forall a\in \mathbb{Z}</math>李煌形式的无穷多整數解

存在 <math>y=a(a^2+2),\forall a\in \mathbb{Z}</math>李煌形式的无穷多整數解

不存在其它形式的整數解

例如：<math>a=13,y=(4a)(2a^2+1)=17628</math>

'''李煌橢圓曲線'''：<math>y^2=x^3+x^2-x-1</math>存在整数解(677,17628)

例如：<math>a=14,y=(4a)(2a^2+1)=22008</math>

'''李煌橢圓曲線'''：<math>y^2=x^3+x^2-x-1</math>存在整数解(785,22008)

== 四 ==
若橢圓曲線('''Legendre Normal Form''')：<math>y^2=x\left(x-1\right)\left(x-\lambda\right)</math>存在解(m,n)，

可以等價變換為兩條'''李煌橢圓曲線'''

*橢圓曲線('''LH Curve''')：<math>Y^2=X^3+{(1-\lambda-m)}X^2-{X}+(m+\lambda-1)</math>
*橢圓曲線('''LH Curve''')：<math>Y^2=X^3+{(\lambda-1-m)}X^2-\lambda^2{X}+\lambda^2(m+1-\lambda)</math>

== 五 ==
橢圓型未定方程：
* <math>x^3=y^2+54\,</math>僅有兩組整數解<math>(7,\pm 17)\,</math>

==参考文献==
http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

== 來源 ==
* 《南昌理工學院學報》.李煌


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