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== 一 ==
*不定方程<math>x^n+y^2=z^2</math>存在無窮多整數解,之解爲'''李煌解''':
<math>{\begin{cases}x=2b\\y=\pm((2b)^{n-2}-b^2)\\z=\pm((2b)^{n-2}+b^2)\end{cases}}</math>

== 二 ==
*不定方程<math>x^n+y^3=z^3</math>之全体解爲'''李煌解''':
<math>{\begin{cases}x=3b\\y=\frac{-9b^3+\sqrt{4(3b)^{n-3}-27b^6}}{2}\\z=\frac{9b^3+\sqrt{4(3b)^{n-3}-27b^6}}{2}\end{cases}}</math>

<math>{\begin{cases}x=b\\y=\frac{-3b^3+\sqrt{12b^{n-3}-3b^6}}{6}\\z=\frac{3b^3+\sqrt{12b^{n-3}-3b^6}}{6}\end{cases}}</math>

== 三 ==
*不定方程<math>{(a^2+27b^6-9ab^3)}x^3+y^3=z^3</math>存在整數解,之解爲'''李煌解''':
<math>{\begin{cases}x=3b\\y=a-9b^3\\z=a\end{cases}}</math>

== 四 ==
*不定方程<math>x^3+y^3=z^3</math>等價于:
不等方程<math>(z-y)^3+3y(z-y)^2+3y^2(z-y)=x^3</math>

不等方程<math>(z-x)^3+3x(z-x)^2+3x^2(z-x)=y^3</math>

== 五 ==
*不定方程<math>{(10^5b^{20}+10^4b^{10}-50000b^{15}+50-1000b^5)}x^5+y^5=z^5</math>存在整數解,之解爲'''李煌解''':
<math>{\begin{cases}x=ab\\y=a-10ab^5\\z=a\end{cases}}</math>

== 六 ==
* 形如<math>2a^2-2ab+b^2,\forall a,b\in \mathbb{Z}</math>之整數一定能表示為兩平方數之和，且該形式是整數能表為兩平方數之和之充要條件.
* 形如<math>2(a^2+2b^2-2ab),\forall a,b\in \mathbb{Z}</math>之偶數一定能表示為兩平方數之和，且該形式是偶數能表為兩平方數之和之充要條件.

==参考文献==
http://mathworld.wolfram.com/EllipticCurve.html

== 來源 ==
* 《南昌理工學院學報》.李煌

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