三胞胎素数

定义

正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

A类三胞胎素数，构成为 $p, p + 2, p + 6$ ，相差2的两个孪生素数在前面，例如：(5，7，11)；(11，13，17)； (17，19，23)；等等。

B类三胞胎素数，构成为 $p, p + 4, p + 6$ ，相差2的两个孪生素数在后面，例如：(7，11，13)；(13，17，19)；(37，41，43)；等等。

当素数p 大于3时，可以证明形同 $p, p + 2, p + 4$ 的数组不可能是三胞胎素数[1]。事实上，这三个数对3的模两两不同，所以必然有一个能被3整除。然而这三个数都比3要大，因此一定有一个是3的倍数，从而这个数不是素数。

Template:NoteTA 在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。三胞胎素数猜想

有关孪生素数的一个著名猜想是：是否有无穷多个孪生素数？同样的，有关于三胞胎素数的类似猜想：是否有无穷个三胞胎素数？由于三胞胎素数中一定有两个是孪生素数，解决了三胞胎素数猜想也就意味着解决了孪生素数猜想。

埃氏筛法并没有坐吃山空，反而源源不断释放出新的能量，以后我们还要讨论这些内容居然可以与图论--曲面染色建立一一对应的关系。就是用数论研究图论，或者用图论研究数论。与一笔画建立对应关系。 Template:NoteTA 在数论中，三胞胎素数（也称为三生素数）是一类由三个连续素数组成的数组。三胞胎素数的定义类似于孪生素数，它的名字也正是由此而来。

定义

正如孪生素数是指差等于2的两个素数，三胞胎素数是指三个连续素数，使得其中最大的一个减去最小一个的差不超过6。事实上，除了最小的两组三胞胎素数：(2, 3, 5) 和 (3, 5, 7)，其它的三胞胎素数都是相差达到6的三元数组。除了以上两个特例以外，三胞胎素数分为两类：

公式

A类三胞胎素数

为了具体地求一定范围内的A类三胞胎素数，可以利用一下的定理：“若自然数 $A - 2, A, A + 4$ 都不能被不大于 $\sqrt{A + 4}$ 的任何素数整除，则 $A - 2, A$ 与 $A + 4$ 都是素数”。这个定理的证明用到一个简单的事实：如果一个自然数 $A$ 不能被不大于 $\sqrt{A}$ 的任何素数整除，则 $A$ 是素数。

考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ 。解方程：

A = p_{1} m_{1} + g_{1} = p_{2} m_{2} + g_{2} = \dots = p_{k} m_{k} + g_{k} \dots (1)

其中 $g_{i} \neq 0$ ， $g_{i} \neq 2$ ， $g_{i} \neq p_{i} - 4$ （保证 $A - 2, A, A + 4$ 都不能被任一个素数整除）， $1 \leq g_{i} \leq p_{i} - 1$ 。

如果解出 $A < p_{k + 1}^{2} - 4$ ，则 $A - 2, A$ 与 $A + 4$ 是一组三胞胎素数。

我们可以把（1）式内容等价转换成为同余方程组表示：

A \equiv g_{1} (\mod p_{1}), A \equiv g_{2} (\mod p_{2}), \dots, A \equiv g_{k} (\mod p_{k}) \dots (2)

由于（2）式的模 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、……、 $p_{k}$ 是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的 $g_{1}, g_{2}, \dots, g_{k}$ ，（2）式在 $p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ 范围内有唯一解。

A类三胞胎素数的例子

例如k=2时， $A = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 1$ ，解得 $A = 7, 13, 19$ 。这三个素数都满足 $A < p_{k + 1}^{2} - 4$ 的条件： $7, 13, 19 < 5^{2} - 4$ ，因此，这三个素数所对应的素数组：

7-2，7与7+4；

13-2，13与13+4；

19-2，19与19+4

都是三胞胎素数组。

这样，就求得了区间 $(5, 5^{2})$ 中的全部A类三胞胎素数。

又如当k=3时，设有方程组 $A = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 1 = 5 m_{3} + 3$ ，解得 $A = 13$ 与 $A = 43$ 。其中出现一个新的素数43，而 $43 < 7^{2} - 4$ 。因此，43-2，43与43+4也是一组三胞胎素数。

又比如求解方程组 $A = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 1 = 5 m_{3} + 4$ ，解得 $A = 19$ ，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、2或对应的素数减去4，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间 $(7, 7^{2})$ 的全部A类三胞胎素数。

k=4时	$7 m_{4} + 1$	$7 m_{4} + 4$	$7 m_{4} + 5$	$7 m_{4} + 6$
$A = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 1 = 5 m_{3} + 3$	43	193	103	13
$A = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 1 = 5 m_{3} + 4$	169	109	19	139

已经得到区间 $(11, 1 1^{2})$ 的全部A类三胞胎素数

B类三胞胎素数

对于B类的三胞胎素数，也可以用类似的结论：“若自然数 $B - 4, B, B + 2$ 都不能被不大于 $\sqrt{B + 2}$ 任何素数整除，则 $B - 4, B$ 与 $B + 2$ 都是素数”。这个结论的证明与上面的相同。

于是同样地，考虑按照从小到大的顺序：2，3，5，……排列的前k 个素数 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{k}$ 。解方程：

B = p_{1} m_{1} + j_{1} = p_{2} m_{2} + j_{2} = \dots = p_{k} m_{k} + j_{k} \dots (3)

其中 $j_{i} \neq 0$ 、 $j_{i} \neq 4$ 、 $j_{i} \neq p_{i} - 2$ 。

而如果 $B < p_{k + 1}^{2} - 2$ ，则 $B - 4, B$ 与 $B + 2$ 是一组三胞胎素数。

我们可以把（3）式内容等价转换成为同余方程组表示：

B \equiv j_{1} (\mod p_{1}), B \equiv j_{2} (\mod p_{2}), \dots, B \equiv j_{k} (\mod p_{k}) \dots (4)

同样地，由于（4）式中的模 $p_{1}$ 、 $p_{2}$ 、……、 $p_{k}$ 是素数，两两互素，根据孙子定理（中国剩余定理）知，对于给定的 $j_{1}, j_{2}, \dots, j_{k}$ ，（4）式在 $p_{1} p_{2} \dots p_{k}$ 范围内有唯一解。

B类三胞胎素数的例子

例如k=2时， $B = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2$ ，解得B=11，17。这两个素数都满足 $B < p_{k + 1}^{2} - 2$ 的条件： $11, 17 < 5^{2} - 2$ ，因此我们得到两组B类三胞胎素数：

11-4，11与11+2；

17-4，17与17+2；

这样，就求得了区间 $(5, 5^{2})$ 中的全部B类三胞胎素数。

又比如当k=3时，解方程组 $B = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 1 = 5 m_{3} + 2$ ，解得B=11，41。这两个素数都满足 $B < p_{k + 1}^{2} - 2$ 的条件： $11, 41 < 7^{2} - 2$ ，因此我们得到一组新的B类三胞胎素数：

41-4，41与41+2。

而解方程组 $B = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2 = 5 m_{3} + 2$ ，得B=17，也是上面已经求出过的一组三胞胎素数。

由于余数不能是0、4或对应的素数减去2，可能的余数组合只有以上的两种，所以上面的计算已经求得了区间 $(7, 7^{2})$ 的全部B类三胞胎素数。

k=4时	$7 m_{4} + 1$	$7 m_{4} + 2$	$7 m_{4} + 3$	$7 m_{4} + 6$
$B = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2 = 5 m_{3} + 1$	71	191	101	41
$B = 2 m_{1} + 1 = 3 m_{2} + 2 = 5 m_{3} + 2$	197	107	17	167

已经求得了区间

(11, 1 1^{2})

的全部B类三胞胎素数。

仿此下去可以求得给定区域内的全部A类和B类全部三胞胎素数，并且一个不漏地求得。