和與積之研究(又續)

李煌定理

已知：$n\in \mathbb{Z},n\ge 2$

已知：$x^n-p{x}^{n-1}=q$之解為 $x_1,x_2,x_3\dots x_n$

• 則壹定滿足李煌關系：$\frac{1}{x_1^{n-1}}+\frac{1}{x_2^{n-1}}+\frac{1}{x_3^{n-1}}+\dots +\frac{1}{x_n^{n-1}}=\frac{(1-n)p}{q}$

• 則壹定滿足李煌關系：$\frac{1}{(x_1{x}_2{)}^{n-1}}+\frac{1}{(x_1{x}_3{)}^{n-1}}+\dots +\frac{1}{(x_{n-1}{x}_n{)}^{n-1}}=\frac{p^2\frac{(n-1)(n-2)}{2}}{q^2}$

• 則壹定滿足李煌關系：$\frac{1}{(x_1{x}_2{x}_3{)}^{n-1}}+\frac{1}{(x_1{x}_2{x}_4{)}^{n-1}}+\dots +\frac{1}{(x_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n{)}^{n-1}}=\frac{p^3\frac{(1-n)(n-2)(n-3)}{6}}{q^3}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：$\frac{1}{(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{)}^{n-1}}+\frac{1}{(x_1{x}_2{x}_3{x}_5{)}^{n-1}}+\dots +\frac{1}{(x_{n-3}{x}_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n{)}^{n-1}}=\frac{p^4\frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{24}}{q^4}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

• 則壹定滿足李煌關系：$\frac{1}{(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_5{)}^{n-1}}+\frac{1}{(x_1{x}_2{x}_3{x}_4{x}_6{)}^{n-1}}+\dots +\frac{1}{(x_{n-4}{x}_{n-3}{x}_{n-2}{x}_{n-1}{x}_n{)}^{n-1}}=\frac{p^5\frac{(1-n)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{120}}{q^5}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

更為一般之李煌關係通項如下($k\ge 1,k\le n-1,k\in \mathbb{Z}$)

• 則壹定滿足李煌關系：$\frac{1}{(x_1{x}_2\dots x_k{)}^{n-1}}+\frac{1}{(x_1{x}_2\dots x_{k-1}{x}_{k+1}{)}^{n-1}}+\dots +\frac{1}{(x_{n-k+1}{x}_{n-k+2}\dots x_{n-1}{x}_n{)}^{n-1}}=\frac{(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})p^k}{q^k}$(未查到有人發現，應該是李煌首次發現，並由李煌證明)

推論

• 李煌-二项式系数定理

已知：$n\in \mathbb{Z},n\ge 2$

已知：$x^n-x^{n-1}+1=0$之解為 $x_1,x_2,x_3\dots x_n$

已知：$k\ge 1,k\le n-1,k\in \mathbb{Z}$

則存在二項式係數李煌計算形式

$\frac{1}{(x_1{x}_2\dots x_k{)}^{n-1}}+\frac{1}{(x_1{x}_2\dots x_{k-1}{x}_{k+1}{)}^{n-1}}+\dots +\frac{1}{(x_{n-k+1}{x}_{n-k+2}\dots x_{n-1}{x}_n{)}^{n-1}}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})$

推論

• 李煌-二项式系数定理

已知：$n\in \mathbb{Z},n\ge 1$

已知：$x^{n+1}-x^n+1=0$之解為 $x_1,x_2,x_3\dots x_n,x_{n+1}$

已知：$k\ge 1,k\le n,k\in \mathbb{Z}$

則存在二項式係數李煌計算形式

$\frac{1}{(x_1{x}_2\dots x_k{)}^n}+\frac{1}{(x_1{x}_2\dots x_{k-1}{x}_{k+1}{)}^n}+\dots +\frac{1}{(x_{n-k+2}{x}_{n-k+3}\dots x_n{x}_{n+1}{)}^n}=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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