有歧义的概率问题及其两种理解

题目：一道单选题有 A 、B 、C 、D 四个选项，考生随机选了一个，接着两个错误选项被随机排除，这两个选项与考生最初的选项不重叠。最后考生选择了剩下的那个选项，他的正确概率是多少？

这道题有歧义是因为“随机排除两个错误选项”有两种不同的可能标准：

（1）考生剩下的三个选项中可能有两个或三个错误，从中随机选两个排除；

（2）从所有三个错误选项中随机选两个排除，只是恰好没有排除考生最初的选项。

后者是条件概率问题，而前者不是。前者可看作三门问题的变形。

第一种理解的解法：不妨设正确选项为 A ，这时有两种可能：

（1）考生最初选择了 A ，则不妨设排除了 B 和 C 。则考生最终选项为 D ，错误。（概率：$\frac{1}{4}$）

（2）考生最初的选项不是 A ，不妨设为 B 。此时只能排除 C 和 D ，考生最终选项为 A ，正确。（概率：$\frac{3}{4}$）

考虑两种可能情况，考生最终的正确概率为 $\frac{3}{4}$ 。

第二种理解的解法：不妨设正确选项为 A ，且排除了 B 和 C 。若不考虑排除的选项与考生最初选项是否重叠，有三种可能：

（1）考生最初选择了 A ，则最终选项为 D ，错误。（概率：$\frac{1}{4}$）

（2）考生最初选择了 B 或 C ，与排除的选项重叠了，这种情况不符合题意，应排除在外。（概率：$\frac{2}{4}$）

（3）考生最初选择了 D ，则最终选项为 A ，正确。（概率：$\frac{1}{4}$）

使用条件概率公式：$P(X|Y)=\frac{P(XY)}{P(Y)}$，得出考生最终的正确概率为 $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ 。

两种理解方式得出的答案不同，这是因为题目没有明确“随机排除”时是否有意避开了考生最初的选项。如果是有意避开而非碰巧，那么这一筛选行为带来的信息会影响事件的概率。

另外，很多涉及“随机”的问题都有多种解读方法（按照何种概率分布），例如“随机取圆的一条弦”就有不同的随机取法。