特征值

特征值是正多边形的一个基本量。

定义

我们规定：一个正n边形（$n\ge 4$）的最短对角线与最长对角线的比值叫做这个正n边形的特征值，记作λ(n).

例子

计算λ(6)的值：

作正六边形$ABCDEF$，显然，$AE$为最短的对角线，而$AD$为最长的对角线.

所以λ(6)=$\frac{\mathrm{A}\mathrm{E}}{\mathrm{A}\mathrm{D}}$.

$\mathrm{\angle }FED=\frac{180(6-2)}{6}=120^{\circ }$

因为$FE=ED$

所以$\mathrm{\angle }FAE=\mathrm{\angle }FEA=\frac{180-120}{2}=30^{\circ }$

因为$\mathrm{\angle }FED=120^{\circ }$

所以$\mathrm{\angle }AEF=90^{\circ }$

显然，$BC\parallel AD$

又因为$\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }FED=120^{\circ }$

所以$\mathrm{\angle }BAD=180-120=60^{\circ }$

因此$\mathrm{\angle }EAD=120-30-60=30^{\circ }$

又因为$\mathrm{\angle }AED=90^{\circ }$

所以$\frac{AE}{AD}=\cos 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

所以λ(6)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.