素数公式

2000年前的古希腊数学家埃拉特斯特尼创造了一种筛法，可以求得给定一个自然数以内的所有素数，只要在2—n内筛去不大于$\sqrt{n}$的素数的倍数，剩下的就是素数。

素数的埃拉特斯特尼筛法公式

若自然数n不能被不大于$\sqrt{n}$任何素数整除，则n是一个素数。  
    
   
  可以把上面的汉字内容等价转换成为英语字母表示：  
   
  $n=p_1{m}_1+a_1=p_2{m}_2+a_2=\dots =p_k{m}_k+a_k.$(1)  
   
  其中 $p_1,p_2,\dots ,p_k$表示顺序素数2，3，5，....。$a$≠0。

  若$n<P_{k+1}^2$,则n是一个素数。  
   
  我们可以把（1）式内容等价转换同余式组表示  ：
  $n\equiv a_1(\mathrm{mod}{p}_1),n\equiv a_2(\mathrm{mod}{p}_2),\dots ,n\equiv a_k(\mathrm{mod}{p}_k)$（2）  
   
  由于（2）的模$p_1$,$p_2$,...,$p_k$ 两两互素， 
  根据孙子定理(中国剩余定理）知，对于给定的$a_1$,$a_2$,...,$a_k$，（2）式在$p_1$$p_2$...$p_k$范围内有唯一解。 

 　范例  
   
  k=1时，$n=2m_1+1$，解得n=3，5，7。求得了（3，$3^2$）区间的全部素数。  
   
  k=2时，$n=2m_1+1=3m_2+1$，解得n=7，13，19； $n=2m_1+1=3m_2+2$，

解得n=5，11，17，23。

  求得了（5，$5^2$）区间的全部素数。  

k=3时	$5m_3+1$	$5m_3+2$	$5m_3+3$	$5m_3+4$
$n=2m_1+1=3m_2+1=$	31	7,37	13,43	19
$n=2m_1+1=3m_2+2=$	11,41	17,47	23	29

  |}求得了（7,$7^2$）区间的全部素数。  
   
  仿此下去可以求得任意大的数以内的全部素数。并且一个不漏地求得。 
  对于所有可能的$a_1$,$a_2$,...,$a_k$，(1)和(2)式在$p_1$$p_2$...$p_k$范围内，

有（$p_1-1$）（$p_2-1$）($p_3-1$)...（$p_k-1$） 个解。

黎曼猜想的素数公式与埃拉托斯特尼筛法关系

参见《素数之恋》第100页德比希尔著。

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}$

$\zeta (s)=\frac{1}{1^s}+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots$ 。（5）

在等号两边乘以$\frac{1}{2^s}$，由幂运算规则得到。

$\frac{1}{2^s}\zeta (s)=\frac{1}{2^s}+\frac{1}{4^s}+\frac{1}{6^s}+\frac{1}{8^s}+\cdots$。（6）

 　　我们从第（6）式子减去第二个式子，在左边我有一个$\zeta (s)$. 
		

又有它的$\frac{1}{2^s}$,做减法得：

（$1-\frac{1}{2^s}$）$\zeta (s)=1+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{15^s}+\cdots$。（7）

　这个减法从那个无穷和中去掉了所有偶数项。 
		

　　现在我们在等号两边乘以$\frac{1}{3^s}$,而3是右边第一个还没有去掉的数：

$\frac{1}{3^s}$（$1-\frac{1}{2^s}$）$\zeta (s)=\frac{1}{3^s}+\frac{1}{9^s}+\frac{1}{15^s}+\frac{1}{21^s}+\frac{1}{27^s}+\frac{1}{33^s}+\frac{1}{39^s}+\cdots$。（8）

　　 　　我们再做减法得： 
		

（$1-\frac{1}{3^s}$）（$1-\frac{1}{2^s}$）$\zeta (s)=1+\frac{1}{5^s}+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+\frac{1}{19^s}+\frac{1}{23^s}+\cdots$。（9）

　　　　3的所有倍数都从那个无穷和中消失了，右边还有第一个没有被去掉的数是5，如果我们两边都乘以$\frac{1}{5^s}$,结果是：

$\frac{1}{5^s}$（$1-\frac{1}{3^s}$）（$1-\frac{1}{2^s}$）$\zeta (s)=\frac{1}{5^s}+\frac{1}{25^s}+\frac{1}{35^s}+\frac{1}{55^s}+\frac{1}{65^s}+\frac{1}{85^s}+\frac{1}{95^s}+\cdots$。（10）

从前面那个式子减去这个式子得：

（$1-\frac{1}{5^s}$）（$1-\frac{1}{3^s}$）（$1-\frac{1}{2^s}$）$\zeta (s)=1+\frac{1}{7^s}+\frac{1}{11^s}+\frac{1}{13^s}+\frac{1}{17^s}+\frac{1}{19^s}+\frac{1}{23^s}+\frac{1}{29^s}+\cdots$。（11）

　　我们继续下去，对于大于1的任意s，左边对每一个带括号的表达式，并向右边一直继续下去，对这个式子的两边都依次逐个除以这些括号，我们得到：

$\zeta (s)=\prod _p\frac{1}{1-p^{-s}}$ =$\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot \frac{1}{1-5^{-s}}\cdot \frac{1}{1-7^{-s}}\cdot \frac{1}{1-11^{-s}}\cdots \frac{1}{1-p^{-s}}\cdots .$。（12）

（5）=（12） 说明黎曼猜想不是凭空产生的，而是来源与埃拉特斯特尼筛法。

参见

• 孙子定理
• 双生质数
• 哥德巴赫猜想

参考文献

1. 参见《素数之恋》第100页德比希尔著
2. 《谈谈素数表达式》【中等数学】1999年2期--吴振奎教授
3. 《关于一个寻找素数方法的理论依据》【中等数学】2001年4期--陈志云教授
4. 《从台尔曼公式谈起》【中等数学】2002年5期--王晓明教授。