School:李煌數學研究院/高次代數方程x^n=1的根式解的解析表達式

李煌公式

• 方程xⁿ=1滿足n =3k+2, n>3,n,k是整數,之李煌根式解爲：

  $x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}+{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}$

  $x_2={\left(\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}+{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}\right)}^2$

  $x_3={\left(\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}+{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}\right)}^3$

  $...$

  $x_n={\left(\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}+{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}\right)}^n=1$

• 方程xⁿ=1滿足n =3k+1, n>3,n,k是整數,之李煌根式解爲：

  $x_1=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}-{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}$

  $x_2={\left(\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}-{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}\right)}^2$

  $x_3={\left(\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}-{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}\right)}^3$

  $...$

  $x_n={\left(\frac{-\frac{1}{2}-\frac{i\sqrt{3}}{2}}{(-\frac{1}{2}-{\frac{i\sqrt{3}}{2})}^{\frac{1}{n}}}\right)}^n=1$

來源

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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