School:李煌數學研究院/N次代數方程研究

（一）

構造：

代數方程$x^n+{(\frac{\sqrt{p+4}-\sqrt{p}}{2})}^{\frac{n-2}{n}}x=\frac{1}{p^{\frac{n}{2n-2}}}$存在李煌根式解形式 $x={\left(\frac{{(\sqrt{p+4}-\sqrt{p})}^2}{4p^{\frac{n}{2n-2}}}\right)}^{\frac{1}{n}},p>0,p\in ℝ\vee p=-1$ $x=\frac{{\left(\frac{{(\sqrt{p+4}-\sqrt{p})}^2}{4p^{\frac{n}{2n-2}}}\right)}^{\frac{1}{n}}}{\cos (\frac{2\pi }{n})+isin(\frac{2\pi }{n})},p<0,p\ne -1,p\in ℝ$

（二）

已知$a^n+b^n=c^n$

则代数方程$x^n+\frac{b^{n}x}{a{c}^{(n-1{)}^2}}=c^{2n-n^2}$之解 满足$x=\frac{a}{c^{n-1}}$

（三）

代数方程$x^n+px={q(\frac{1-p{q}^{y-1}}{q^{yn-1}})}^{\frac{1}{n-1}}$ 有解 $x={q^y(\frac{1-p{q}^{y-1}}{q^{yn-1}})}^{\frac{1}{n-1}}$

（四）

• 代數方程$x^n+x+1=0,n=2$之所有根（实根，复根）必须满足三角方程$\arcsin (2\sqrt{x^{n-2}})+2\arcsin (\sqrt{-x^{n-1}})=\pi$

與三角方程$2\arcsin \sqrt{-x}+\arcsin 2\sqrt{x^{1+n}}=\pi$兩者之壹，但不能同時滿足.

• 代數方程$x^n+x^{n-1}+1=0$之所有根（实根，复根）必须满足三角方程$\arcsin (\frac{2}{\sqrt{x^{n+1}}})+2\arcsin (\sqrt{\frac{1}{-x}})=\pi$

與三角方程$2\arcsin (\sqrt{-x^{n-1}})+\arcsin (2\sqrt{x^{2n-1}})=\pi$兩者之壹,但不能同時滿足.

• 代數方程$x^n+x+q=0,q>0$之 实数根 必须满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x}{q}})=\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n+1}}}{q})$ 或者满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x}{q}})+\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n+1}}}{q})=\pi$

• 代數方程$x^n+x+q=0,q<0$之 实数根 必须满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x}{q}})=\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n+1}}}{-q})$或者满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x}{q}})+\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n+1}}}{-q})=\pi$

• 代數方程$x^n+qx+1=0,q>0$之 实数根 必须满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x^{n-1}}{q}})=\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n-2}}}{q})$ 或者满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x^{n-1}}{q}})+\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n-2}}}{q})=\pi$

• 代數方程$x^n+qx+1=0,q<0$之 实数根 必须满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x^{n-1}}{q}})=\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n-2}}}{-q})$或者满足三角方程

$2\arcsin (\sqrt{\frac{-x^{n-1}}{q}})+\arcsin (\frac{2\sqrt{x^{n-2}}}{-q})=\pi$

（五）

• 代數方程$x^n+x+1=0$ 與代數方程$x^{2n-1}+x^{n-1}-x-1=0$有公共解
• 代數方程$x^n+x+1=0$ 與代數方程$x^{2n}+x^{n+1}-x-1=0$有公共解
• 代數方程$x^n+x+1=0$ 與代數方程$x^{n+1}-x^n+x^2-1=0$有公共解

（六）

代數方程$x^n+px+q=0$之解爲x,

李煌方程$y^n-p{y}^{n-1}=(-q{)}^{n-1}$之解爲y

則兩個方程之解滿足關係$y=x^{n-1}+p$

（七）

已知：$2\nmid n$

代數方程$x^n+px+q=0$之解爲x,

方程$y^n+p^{n}y=p^{n}q$之解爲y

則兩個方程之解滿足關係： $y=x^n+q$

（八）

已知：$2\nmid n,n\ge 1$

則方程$B^{n-1}{x}^{n+1}+(B^n+A^n)x^n+B^n{A}^n=0$一定存在一個解$x=-B$

（九）

$x^3+p{x}^2+q=0$必然存在李煌解形式:

$x=p(y^2-1)$ 其中y滿足方程$y^3-y+\sqrt{\frac{-q}{p^3}}=0$

（十）

方程$y^6+y=1$之部分根y满足$y=x^{\frac{1}{3}}$

其中x满足方程$x^6-3x^4+3x^2+x-1=0$

來源（据称）

• 《南昌理工學院學報》.李煌

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